Mengenlehre| Kreuzen sie an ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind.

Question

Kreuzen Sie zu folgenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch sind:

Aussage	wahr	falsch
\( \varnothing \in\{0,1\} \)
\( \varnothing \subset\{0,1\} \)
\( \varnothing \subseteq\{0,1\} \)
\( \varnothing \in\{\varnothing, 1\} \)
\( \varnothing \subset\{\varnothing, 1\} \)
\( \varnothing \subseteq\{\varnothing, 1\} \)
\( \{\varnothing\} \in\{\varnothing, 1\} \)
\( \{\varnothing\} \subset\{\varnothing, 1\} \)
\( \{\varnothing\} \subseteq\{\varnothing, 1\} \)
\( \{\varnothing\} \subset\{\varnothing\} \)
\( \{\varnothing\} \subset \{\varnothing\} \)

Ansatz:

Aufgabe aus alter Klausur. Ich weiß nur, dass die leere Menge eine echte Teilmenge jeder anderen Menge ist.

\( \varnothing \subset M \)

Diese Aussage ist also in der Tabelle wahr. Der letzte Punkt in der Tabelle müsste auch wahr sein. Bei den anderen bin ich mir aber nicht sicher.

Answer 1

∅ ∈ { 0 , 1 } ist falsch, da die Menge { 0 , 1 } nur die Elemente 0 und 1 enthält.

∅ ⊂ { 0 , 1 } ist wahr, da die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist, also auch der Menge { 0 , 1 }

∅ ⊆ { 0 , 1 } ist wahr, da dieser Ausdruck äquivalent ist zu ( ∅ ⊂ { 0 , 1 } ∨ ∅ = { 0 , 1 } ). Da aber ∅ ⊂ { 0 , 1 } wahr ist, ist auch diese Konjunktion und damit auch ∅ ⊆ { 0 , 1 } wahr.

∅ ∈ { ∅ , 1 } ist offensichtlich wahr.

∅ ⊂ { ∅ , 1 } ist wahr, da die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist, also auch der Menge { ∅ , 1 }

∅ ⊆ { ∅ , 1 } ist wahr, da dieser Ausdruck äquivalent ist zu ( ∅ ⊂ { ∅ , 1 } ∨ ∅ = { ∅ , 1 } ). Da aber ∅ ⊂ { ∅ , 1 } wahr ist, ist auch diese Konjunktion und damit auch ∅ ⊆ { ∅ , 1 } wahr.

{ ∅ } ∈ { ∅ , 1 } ist falsch, da die Menge { ∅ , 1 } nur die Elemente ∅ und 1 enthält, nicht aber das Element { ∅ }.

{ ∅ } ⊂ { ∅ , 1 } ist falsch. Zwar ist die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge, aber die Menge { ∅ } ist eben nicht die leere Menge, sondern sie enthält ein Element, nämlich die leere Menge. Daher ist die Menge { ∅ } nicht Teilmenge einer jeden Menge, sondern nur solcher Mengen, die sie enthalten, etwa der Menge { { ∅ } , 1 }.

{ ∅ } ⊆ { ∅ , 1 } ist falsch, da sowohl { ∅ } = { ∅ , 1 } offensichtlich falsch ist als auch { ∅ } ⊂ { ∅ , 1 } falsch ist (siehe vorherigen Absatz)

{ ∅ } ⊂ { ∅ } ist falsch, da eine Menge nicht echte Teilmenge von sich selbst sein kann.

{ ∅ } ⊆ { ∅ } ist wahr, da { ∅ } = { ∅ } wahr ist.

Comments

Danke für deine Antwort! 

Kurz noch ein paar Fragen:

In der dritten Zeile heißt es "Leere Menge ist eine Teilmenge der Menge {1,0}"
Ich dachte, dass eine Teilmenge bedeutet, dass beide Mengen die gleichen Elemente enthalten. 
{0,1} enthält doch aber noch die Elemente 0 und 1, hat also mehr Elemente als die leere Menge. Demnach wäre das doch also dann eine echte Teilmenge. Ich  habe verstanden, was du da an Beweisführung angebracht hast, aber schmeißt das nicht die ganze Definition von Teilmenge und echte Teilmenge über den Haufen?

{ ∅ } ⊂ { ∅ , 1 } 
Warum ist das falsch? Wenn als Element nicht die leere Menge sondern zum Beispiel a vorkommt, also:
{ a } ⊂ { a , 1 }
So ist doch die Aussage wahr. 
Menge 1 enthält ein Element. Dieses Element kommt auch in Menge 2 vor. Menge 2 besitzt ein zusätzliches Element, also ist Menge 1 eine echte Teilmenge von Menge 2.
Warum ist das bei der leeren Menge als Element anders?
Oder hab ich grad wieder quer gedacht und die leere Menge ist bei Menge 1 ein Element und bei Menge 2 die leere Menge innerhalb der Menge? 

 

Answer 2

Hier mein Vorschlag via Zeichnungsprogramm in deine Tabelle gefügt.