Wie beweise ich diese Aussagen, in Bezug auf die Mengenlehre?

Question

Sehr geehrte Mitglieder,

ich verstehe zwar die Aufgabe, kann diese jedoch nicht beweisen.

Freue mich über jede Hilfe.

Aufgabe:

Seien A, B nichtleere Mengen und f : A -› B eine Abbildung. Zeige:

(1) Für K ⊂ A gilt K ⊂ f ^-1(f(K))

(2) Für L ⊂ B gilt f( f ^-1(L)) ⊂ L.

(3) f ist injektiv genau dann wenn K = f ^-1(f(K)) für alle K ⊂ A.

Vielen Dank im Voraus.

Comments

c (soll in diesem Zusammenhang für die echte Teilmenge stehen)

Das würde ich noch einmal überprüfen, insbesondere wegen (3)

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Entschuldigen Sie vielmals, ich hatte die Symbol-Funktion noch nicht entdeckt gehabt, macht es jetzt Sinn? (Sollte alles genau so in der Aufgabe stehen)

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Ja, so ist es klar. \(P \sub Q\) bedeutet: P ist Teilmenge von Q (und P=Q ist nicht ausgeschlossen). Der Gebrauch ist allerdings nicht immer einheitlich, manche bevorzugen in diesem Fall \(P \sube Q\)

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Ahh vielen Dank jetzt hab ich es auch verstanden :)

Wüsstest du nur zufällig auch die Lösung für die Aufgabe?

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Ich weiß die Lösung nicht "zufällig", sondern weil ich 1. einige Erfahrung habe und 2. die Lösung sehr einfach ist. Aus letzterem Grund solltest Du es selbst versuchen, jedenfalls (1) und (2).

Schreib Dir dazu die Definition hin: Wie ist f(K) definiert? Wie ist \(f^{-1}(M)\) für \( M\sub B\) definiert?

Answer 1

(1) Für K ⊂ A gilt K ⊂ f ^-1(f(K))

Sei \(x\in K\). Dann ist \(f(x)\in f(K)\), also \(f^{-1}(f(x)) \in f^{-1}(f(K))\).

(2) Für L ⊂ B gilt f( f^-1(L)) ⊂ L.

Sei \(y\in f( f^{-1}(L))\). Sei \(x\in f^{-1}(L)\) mit \(f(x) = y\).

\(\dots\)

Comments

Vielen Dank für die Antwort