Aufgabe:
Gegeben sei \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+\sin (x)}{x^{2}} \)
a. Untersuchen Sie ob der Grenzwert dieser Funktion existiert und bestimmen Sie ihn gegebenenfalls.
b. Finden Sie den Fehler in folgendem Beweis:
\(\begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+\sin (x)}{x^{2}}\left(\frac{\infty}{\infty} \text {, l'Hôpital }\right) \\\\ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+\cos (x)}{2 x}\left(\frac{\infty}{\infty}, \text { l'Hôpital }\right) \\\\ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2-\sin (x)}{2} \end{array}\)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2-\sin (x)}{2} \) und folglich \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+\sin (x)}{x^{2}} \) besitzen keinen Grenzwert.
Problem/Ansatz:
Aufgabe a ging sehr flott. Wenn man x^2 heraushebt, dann kann man kürzen und der Grenzwert ist 1. Mein Problem ist bei Aufgabe b. Ich verstehe nicht, warum man da nicht de l'Hospital anwenden darf. Ich hätte mir gedacht, dass es vielleicht am Sinus liegt, da dieser keinen Grenzwert hat, aber da ja x^2 gegen unendlich läuft ist das ja egal oder? Könntet ihr mir einen Hinweis geben?
