Regel von L’Hospital - Grenzwert sinus cosinus

Question

Leiten Sie mittels Regel von L’Hospital her:

lim =  \(\Large \frac{sin(x)−x cos(x)}{cos(x)−1+x/2sin(x)} \) 
^x→0

Mein Ansatz:

f'(x) = \(\Large \frac{xsin(x)}{-1/2sin(x) - x/2cos(x)} \)

und wenn ich da jetzt gegen 0 gehe bekomme ich im Zähler etwas das gegen 0 geht und im Nenner gegen -1

--> es geht also letztendlich gegen 0?? oder habe ich irgendwo einen Denkfehler

Answer 1

Aloha :)

Bei deiner Ableitung hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:$$\small\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x-1+\frac x2\sin x}\stackrel{\text{(L'Hospital)}}{\mapsto}\frac{\cos x-(\cos x-x\sin x)}{-\sin x+\left(\frac12\sin x+\frac x2\cos x\right)}=\frac{x\sin x}{\frac x2\cos x-\frac12\sin x}$$

Wir können \(x=0\) noch nicht einsetzen und bemühen daher nochmal L'Hospital:$$\small\frac{x\sin x}{\frac x2\cos x-\frac12\sin x}\stackrel{\text{(L'Hospital)}}{\mapsto}\frac{\sin x+x\cos x}{\left(\frac12\cos x-\frac x2\sin x\right)-\frac12\cos x}=\frac{\sin x+x\cos x}{-\frac x2\sin x}=-\frac2x-\frac{2\cos x}{\sin x}$$

Für \(x\to 0^+\) geht der Ausdruck gegen \((-\infty)\).

Für \(x\to 0^-\) geht der Ausdruck gegen \((+\infty)\).

Für \(x\to0\) liegt also noch nicht mal bestimmte Divergenz gegen \(\pm\infty\) vor.

Answer 2

Zähler ableiten:

\([sin(x)-x*cos(x)]´=cos(x)-[1*cos(x)+x*(-sin(x)]\)

\([sin(x)-x*cos(x)]´=x*(sin(x)\)

Nenner ableiten:

\([cos(x)-1+\frac{x}{2}*sin(x)]´=-sin(x)+\frac{1}{2}*sin(x)+\frac{x}{2}*cos(x)\)

\([cos(x)-1+\frac{x}{2}*sin(x)]´=-\frac{1}{2}*sin(x)+\frac{x}{2}*cos(x)\)

Für \(x=0\) im Zähler und Nenner ergibt sich wieder  \( \frac{0}{0} \)

Also nochmals L’Hospital anwenden

Answer 3

Überprüfe deine Ableitungen:

https://www.ableitungsrechner.net/