Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mittels der L'Hospital-Regel lim->0 tan(ax)/tan(bx)

Question

 
das Problem dieser Aufgabe ist mal wieder die Trigonometrie insbes. ''tan()''

Ich hab den Bogen mit der Trigonometrie immer noch nicht richtig raus und weiß nicht wirklich wie man bei solcher Aufgabe ran geht.

Es wär echt super nett wenn ihr mir dabei unter die Arme greifen könnt.

$$(a)\qquad \lim_{x\to0}\left(\frac{\tan(ax)}{\tan(bx)}\right)$$

danke euch.

Answer 1

Was du hier brauchst ist eigentlich nur die Ableitung des Tangens:

Wegen tan(x) = sin(x)/cos(x) folgt mit der Quotientenregel:

(tan(x))' = (sin(x)' cos(x) - cos(x)' sin(x))/cos²(x) = (sin²(x) + cos²(x))/cos²(x) = 1/cos²(x)

Im letzten Schritt habe ich den trigonometrischen Pythagoras sin²(x)+cos²(x)=1 benutzt.

Den Satz von l'Hospital darf man anwenden, wenn in einem Grenzwert sowohl Zähler als auch Nenner beide gegen 0 (oder beide gegen Unendlich gehen).

Hier gehen beide gegen 0. Der Satz besagt, dass der Grenzwert der gleiche ist, wie der, wenn man die Ableitung von Zähler und Nenner nimmt und dann den Grenzwert bildet.

Nachdem wir jetzt die Ableitung des Tangens bereits kennen, erhalten wir leicht Ableitung von Zähler und Nenner mit der Kettenregel:

Mit P(x) = tan(ax), Q(x) = tan(bx) gilt

P'(x) = a/cos²(ax)

Q'(x) = b/cos²(bx)

Wir untersuchen also den Grenzwert:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { a } { \cos ^ { 2 } a x } } { \frac { b } { \cos ^ { 2 } b x } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a } { b } \frac { \cos ^ { 2 } b x } { \cos ^ { 2 } a x } = \frac { a } { b } $$

denn cos(0) = 1.

Comments

Deine Antwort ist sehr hilfreich, aber könntest du mir bitte zeigen, wie du immer gleich sehen kannst ,dass der Grenzwert von tan() bzw. sin() oder cos() = 0 ist und spielen die Variablen a,b bei der Grenzwertbestimmung keine Rolle?

\( \lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{tan(ax)}{tan(bx)} \right) \) = 0/0 ?

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@Monsieur–pham: Entweder du kennst den Verlauf der Kurven der trigonometrischen Funktionen oder du setzt einfach mal 0 ein für x und stellst fest, dass tan(0*a) = tan(0) = 0.
Die Annahme bei solchen Aufgaben ist eigentlich, dass a und b nicht gerade 0 sind.

cos(0) ist übrigens =1 nicht 0.

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danke dir Lu jetzt hab ich auch bemerkt, dass ich eine blöde frage gestellt hab ohne davor nachzudenken xD

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Da hätte ich mal eine allgemeine Frage zu- verändert sich der Grenzwert einer Funktion denn nicht, wenn man sie ableitet?

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@Anonym: Du willst fragen: 'Haben die Funktion und die Ableitung den gleichen Grenzwert?'.

Dazu 2 Bemerkungen.

1. Man leitet nicht die Funktion ab. Sondern: Zähler und Nenner sind separat abzuleiten.

2. Regel von de l'Hospital funktioniert nur, wenn die Voraussetzungen, die Julian Mi angegeben hat, erfüllt sind.

Answer 2

  Es ist immer wieder erheiternd; ich hab nur mal grade geschaut, zu was für einer Hals brecherischen Akrobatik ihr euch hinreißen lasst. Ich hab ja nix anderes erwartet; Quotientenregel.

   Die ist absolut tödlich; die musst du meiden wie die Pest.

   Was hier keiner von euch sieht.

      tg ( a x ) = sin ( a x ) / cos ( a x )   ( 1 )

     Wenn ich das so umforme, dann kommt doch

    tg ( a x ) / tg ( b x ) =   ( 2a )

    = [ cos ( b x ) / cos ( a x ) ] [ sin ( a x ) / sin ( b x ) ]    ( 2b )

    Ich hab das mal absichtlich so geschrieben mit eckigen Klammern; sind die Grenzwertsätze noch geläufig? Die linke eckige Klammer ist doch voll unkritisch; beide Kosinüsse sind Eins. Und die rechte eckige Klammer machen wir mit der " Krankenhausregel " ; die gibt a/b von der Kettenregel her.