Grenzwert mit l'hospital

Question

bei mir harpert es bei einer Aufgabe:

$$\lim\limits_{x  →\frac{5π}{2} - 0} (tan(\frac{x}{5}))^{\frac{1}{ln(cot(3x))}}$$

Zuerst hab ich $$\frac{5π}{2} - 0$$ als $$\frac{5π}{2} - \frac{1}{n} $$

eingefügt

$$\lim\limits_{x  →\frac{5π}{2} - 0} (tan(\frac{\frac{5π}{2} - \frac{1}{n} }{5}))^{\frac{1}{ln(cot(3*(\frac{5π}{2} - \frac{1}{n} )))}}$$

und aufgeräumt

$$\lim\limits_{x  →\frac{5π}{2} - 0} (tan({\frac{5πn-2}{10n}}))$$

$${\frac{1}{ln(cot(\frac{15πn-6}{2n}))}}$$

sodas ich

$$\lim\limits_{x  →\frac{5π}{2} - 0} (tan({\frac{5πn-2}{10n}}))^{\frac{1}{ln(cot(\frac{15πn-6}{2n}))}}$$

habe.

Jetzt habe ich die Umformung für L'hospital angewandt, $$g(x)^{h(x)} = e^{h(x)*ln(g(x))}$$

Und kam auf $$ e^{\frac{1}{ln(cot(\frac{15πn-6}{2n}))} * ln(tan(\frac{5πn-2}{10n}))}$$

was vereinfacht $$e^\frac{ln(tan(\frac{5πn-2}{10n}))}{ln(cot(\frac{15πn-6}{2n}))}$$

ergibt und jetzt hab ich ein Problem weil ich mir nicht sicher bin ob ich einfach Nenner und Zähler ableiten darf.

Außerdem frag ich mich ob es hilfreich wäre $$cot$$ in die Form $$cot α= \frac{1}{tan α}$$ zu bringen.

Ich hoffe das ist nicht zu durcheinander und jemand arbeitet sich da durch :)

Ich wäre für jede Art von Hilfe offen.

Answer 1

                                        lntg ( x/5 )

    ln  f  (  x  )   =        ------------------------         (  1  )

                                    lnctg ( 3 x )

          Hier man müsste sich das mal überlegen;  Tangens und Kotangens müssen ja beide positiv sein wegen dem Logaritmus.  Wenn   sich der Zähler von Links Pi/2 nähert; nähert sich gleichzeitig nicht der Nenner von Rechts Minus Pi/2  - alles Paletti. Der Fall Unendlich gebrochen durch Unendlich

                         ctg ( 3 x )                 sin ² ( 3 x )

    lim  =   -     -------------------   *     ----------------------    =       (  1  )

                       15 tg ( x/5 )               cos ² ( x/5 )

                                        sin ( 6 x )

      =   -  1/15    lim      ----------------------        (  2  )

                                      sin ( 2x/5 )

      wobei ich in ( 2 )  von dem bekannten Additionsteorem Gebrauch gemacht habe

     sin  (  2  x  )  =  2  sin  (  x  )  cos  (  x  )       (  3  )

   "  ( 2 )  is a hard one "  , hätte sich Cookie Monster beklagt - abermals brettern wir auf die Form  0  :  0   Nochmals Krankenhausregel

                                                                  cos ( 6 x )

     lim  =  - ( 1/15 ) * ( 5/2 ) * 6   lim      ---------------------     (  4  )

                                                               cos ( 2 x/5 )

   So wohl im Zähler als auch Nenner haben wir ein ungerades Vielfaches von Pi ; das Vorzeichen hebt sich raus, und nur das   von Zeile  ( 2 ) ererbte Minuszeichen überlebt.  Der Logaritmus geht gegen Minus Eins   ===>  f ( x ) selbst geht gegen  1/e

   Hurra;   ich sehe grad. Leo maior Regulus Denebola Algieba hat das Selbe raus.

Comments

Vielen dank für die Antworten, ich hab jetzt verstanden :)

Answer 2

Mit cot(z) = 1 / tan(z) hilft es sicher; denn

ln( 1/tan(z)) =  - ln(tan(z) .

jetzt hab ich ein Problem weil ich mir nicht sicher bin ob ich einfach Nenner und Zähler ableiten darf.

Na klar, das ist ja gerade der Pfiff bei Hospital.

Musst allerdings erst die Vor. prüfen, ob das ein Bruch vom

Typ   0/0   bzw.  ∞/∞   ist.

Answer 3

ich habe 1/e als Ergebnis erhalten.