Ist Menge M = {(x_(1), x_(2), x_(3)) ∈ ℝ^{3 } : x_(1) - x_(2) + x_(3)^{2 } = 0)^{ } Untervektorraum von R^3?

Question

ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest, wo ich bestimmen soll, ob eine Menge ein Untervektorraum von ℝ³  ist. Die Menge lautet:

M = {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³  : x₁ - x₂ + x₃²  = 0) 

Zuerst habe ich geschaut, ob der Nullvektor in der Menge ist, was ja der Fall ist. Im zweiten Schritt soll man ja schauen, ob gilt, dass x+y ∈ M sind oder? Wie mache ich da weiter?

Answer 1

Unterraumkriterien:

1)  \(\vec{0}\) ∈ U

2)  \(\vec{a}\) ∈ U und \(\vec{b}\) ∈ U  →  \(\vec{a}\)+\(\vec{b}\) ∈ U

3)  α ∈ ℝ  und \(\vec{v}\) ∈ U  →  α•\(\vec{v}\) ∈ U

z.B. ist 3) nicht erfüllt, denn:

\(\vec{v}\) = [-3, 1, 2] ∈ M, da  -3 - 1 + 2² = 0

aber  2•\(\vec{v}\) = [-6, 2, 4] ∉ U ,  da  - 6 - 2 + 4² ≠ 0

M ist also kein Unterraum von ℝ³ 

[ Ein Gegenbeispiel für 2) wird nicht benötigt, kannst du aber übungsweise mal suchen :-) ]

Gruß Wolfgang