Zeigen Sie, dass die Menge {(x1; x2; x3) ∈ ℝ3 | x1 = x3} einen Untervektorraum von ℝ^3 bildet...

Question

1)

$$ Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Menge\quad \left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 })∈{ ℝ }^{ 3 }|{ x }_{ 1 }={ x }_{ 3 } \right\} \quad einen\quad Untervektorraum\quad von\quad { ℝ }^{ 3 }\quad bildet\quad und\quad geben\quad Sie\quad eine\quad Basis\quad an. $$

2)

$$ Bestimmen\quad Sie\quad eine\quad Basis\quad für\quad den\quad ℝ-Vektorraum\quad ⟨{ X }^{ 2 },{ X }^{ 2 }+X,{ X }^{ 2 }+1,{ X }^{ 2 }+X+1,{ X }^{ 7 }+{ X }^{ 5 }⟩\subset ℝ[X]. $$

3)

$$ Es\quad sei\quad { ℝ }_{ f }^{ ℝ }:=\left\{ \phi :ℝ\longrightarrow ℝ|\phi (x)=0\quad bis\quad auf\quad endlich\quad viele\quad x∈ℝ \right\} .\quad Zeigen\quad Sie\quad :\quad { ℝ }_{ f }^{ ℝ }\quad ist\quad ein\quad Untervektorraum\quad von\quad { ℝ }^{ ℝ }\quad und\quad bestimmen\quad Sie\quad eine\quad Basis. $$

Answer 1

Ich mache mal die erste Aufgabe. Über die anderen beiden muss ich noch etwas nachdenken. Vielleicht können sie auch von einem anderen Teilnehmer gelöst werden.

1)

Ich bezeichne die angegebene Menge im Folgenden mit M .

 

Zu zeigen ist, dass M die Unterraumkriterien erfüllt.

a) Der Nullvektor (  0 | 0 | 0 ) des R³ gehört zu M, da er mit x₁ = x₃ = 0 deren Defintion erfüllt.

 

b) u = ( u₁ | u₂ | u₃ ) , v ( v₁ | v₂ | v₃ ) ∈ M

=> u + v = ( u₁ + v₁ | u₂ + v₂ | u₃ + v₃ ) ∈ M

da wegen u₁ = u₃ und v₁ = v₃  auch gilt:

u₁ + v₁ = u₃ + v₃

und somit u + v die Definition der Menge M erfüllt.

 

c) a ∈ K und u = ( u₁ | u₂ | u₃ ) ∈ M

=> a * u = ( a u₁ | a u₂ | a u₃ ) ∈ M

da wegen u₁ = u₃ auch gilt:

a u₁ = a u₃

und somit a * u die Definition der Menge M erfüllt.

 

Eine Basis des durch M beschriebenen Untervektorraums ist:

B = { ( 1 | 0 |1 ) , ( 0 | 1 | 0 ) }

Die Vektoren von B sin dlinear unabhängig und jedes Element von M lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der Vektoren von B darstellen.

Comments

Was ist denn K im Teil c?

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Was ist denn K im Teil c?

K ist der Körper, über dem die Menge  M definiert ist, vorliegend also der Körper R der reellen Zahlen.

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Hat zufällig noch jemand eine Idee zu den anderen beiden Teilaufgaben?