Liegen hier Vektorräume vor? Bsp. (b) {(x1,x2,x3) ∈ ℝ^3) |x1 ≠ 0}

Question

Hallo ich bräuchte mal kurz eure Hilfe:

Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume(mit den üblichen Operationen)?

(a) {(x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³) | x₂ = 1}

(b) {(x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³) |x₁ ≠ 0}

(c) {(x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³) |x₁x_{3 = 0}}

(d) {(x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³) |x₁ < x_{3 ≤ 0}}

Ich glaube das (a) und (b) keine Vektorräume sind weil, sie nicht das Neutrale Element (0,0,0) besitzen. (c) ist ein Vektorraum da die Unterraumkriterien von R zutreffen. Bei (d) bin ich mir nicht ganz sicher, aber er sollte kein Vektorraum sein, da bei einer Multiplikation mit einer negativen Zahl: x₁ < x₃ nicht mehr zutrifft und somit nicht mehr abgeschlossen ist.

Bsp für (d)
x₁ = 1, x₂ = 2, x3 =3 | 1 < 3

-1 * (1,2,3) = (-1,-2,-3 )| -1 > 3 => x1>x3 (Widerspruch)

Ich hab keine Ahnung ob das so passt, oder ob man das so hinschreiben darf! Also stimmt das was ich gemachte habe, und wenn ja wie kann man das am besten formal beweisen/erklären?

Schon mal danke für eure Antworten!

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Bei Beispiel d) ist mir ein kleiner Tippfehler unterlaufen! Es sollt eigentlich „{(x1,x2,x3) ∈ ℝ³) |x1 ≤ x3}“ heißen. Sorry das ich es dadurch etwas komplizierter gemacht habe. :(

Answer 1

das sind alles keine VR. (a) und (b) hast du gut erkannt, dieselbe Argumentation kannst du aber auch für (d) benutzen.

(c) ist kein VR, da z. Bsp. die Summe von (1,0,0) und (0,0,1) kein Element der Menge ist.

Gruß

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Sorry das ich jetzt noch mal nachfragen muss.

Bei d) hat sich ein Tippfehler eingeschlichen es sollte eigentlich

„{(x1,x2,x3) ∈ ℝ³) |x1 ≤ x3}“ heißen. Beim den was ich hingeschrieben habe ist mir klar, dass dies kein neutrales Element enthalten kann.

Du warst jetzt eigentlich schneller als das ich es hätte korrigieren können ;)

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Achso dann vergiss das mit der Argumentation über das Nullelement und bleib bei deinem Gegenbeispiel. Das passt gut :).

Answer 2

(a), (b) ist ok

(c) ist ein Vektorraum da die Unterraumkriterien von R zutreffen.

Glaube nicht, denn (0 | 1 | 1 ) und (1 | 1 | 0) sind beide  darin, aber deren Summe nicht.

Bsp für (d)
x₁ = 1, x₂ = 2, x3 =3 | 1 < 3  aber es soll doch  x3 ≤ 0 sein !!!

-1 * (1,2,3) = (-1,-2,-3 )| -1 > 3 => x1>x3 (Widerspruch)

Aber ein Gegenbeispiel wäre wohl

( -4 | 0 | -1 ) der erfüllt alles, aber 

-1 * ( -4 | 0 | -1 ) nicht. Also auch kein VR.

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Ja da ist ein kleiner Tippfehler in der Aufgabe, darum ist mein Beispiel leider nicht ganz nachvollziehbar. Sollte eigentlich „{(x1,x2,x3) ∈ ℝ³) |x1 ≤ x3} heißen!

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Aber trotzdem danke für deine Hilfe! :)

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Damit macht dein Beispiel wirklich Sinn.