Bezeichnet man die angegebenen Mengen jeweils mit M , so ist jeweils zu zeigen, dass M die Unterraumkriterien
a) 0 ∈ M
b) r , s ∈ M => ( r + s ) ∈ M (Abgeschlossenheit von M bzgl. der Vektoraddition)
c) a ∈ K , r ∈ M => a * r ∈ M (Abgeschlossenheit von M bzgl. der Skalarmultiplikation)
(Dabei ist K der dem betrachteten Vektorraum zugrunde liegende Körper, vorliegend also K = R)
erfüllt bzw. nicht erfüllt.
1)
M = { ( x1, x2, x3 ) ∈ R3 | x1 ≥ x2 }
a) ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M
Der Nullvektor ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) des R3 erfüllt die Definition von M , da gilt:
x1 = 0 ≥ 0 = x2
Also ist ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M
b) r, s ∈ M => ( r + s ) ∈ M
Für alle r , s ∈ M ist auch
r + s = ( r1 + s1 , r2 + s2 , r3 + s3 ) ∈ M
da wegen r , s ∈ M gilt:
r1 ≥ r2 und s1 ≥ s2
und somit auch gilt:
r1 + s1 ≥ r2 + s2
c) a ∈ K, r ∈ M => ( a r ) ∈ M
Für alle a ∈ K, r ∈ M ist auch
a * r = ( a r1 , a r2 , a r3 ) ∈ M
da wegen r ∈ M gilt:
r1 ≥ r2
und somit auch gilt:
a r1 ≥ a r2
a) , b) und c) sind erfüllt => M ist Untervektorraum des R3
EDIT:
In Teil 1c) ist mir leider eine Leichtfertigkeit unterlaufen. Bitte die Kommentare beachten!
2)
M = { ( x1, x2, x3 ) ∈ R3 | 3 x1= 2 x2 = x3 }
Zu zeigen:
a) ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M
Der Nullvektor ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) des R3 erfüllt die Definition von M, da gilt:
3 x1 = 2 x2 = x3 = 0
Also ist ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M
b) r, s ∈ M => ( r + s ) ∈ M
Für alle r , s ∈ M ist auch
( r + s ) = ( r1 + s1 , r2 + s2 , r3 + s3 ) ∈ M
da wegen r , s ∈ M gilt:
3 r1 = 2 r2 = r3 und 3 s1 = 2 s2 = s3
<=> r1 = ( 1 / 3 ) r3 , r2 = ( 1 / 2 ) r3 , s1 = ( 1 / 3 ) s3 , s2 = ( 1 / 2 ) s3
Somit ist:
( r + s ) = ( ( 1 / 3 ) r3 + ( 1 / 3 ) s3 , ( 1 / 2 ) r3 + ( 1 / 2 ) s3 , r3 + s3 )
sodass also für ( r + s ) gilt:
3 ( ( 1 / 3 ) r3 + ( 1 / 3 ) s3 ) = 2 ( ( 1 / 2 ) r3 + ( 1 / 2 ) s3 ) = r3 + s3
und ( r + s ) somit die Definition von M erfüllt.
c) a ∈ K, r ∈ M => ( a * r ) ∈ M
Für alle a ∈ K, r ∈ M ist auch
a * r = ( a r1 , a r2 , a r3 ) ∈ M
da wegen r ∈ M gilt:
3 r1 = 2 r2 = r3
<=> r1 = ( 1 / 3 ) r3 , r2 = ( 1 / 2 ) r3
Somit ist:
( a * r ) = ( a * ( 1 / 3 ) r3 , a * ( 1 / 2 ) r3 , a * r3 )
sodass also für ( a * r ) gilt:
3 ( a * ( 1 / 3 ) r3 = 2 ( a * ( 1 / 2 ) r3 = a * r3
und ( a * r ) somit die Definition von M erfüllt.
a) , b) und c) sind erfüllt => M ist Untervektorraum des R3
3)
M = { ( x1 + x2 , x22 , x1 - x2 ) ∈ R3 | x1, x2 ∈ R }
= { ( a , b , c ) ∈ R3 | a = x1 + x2 , b = x22 , c = x1 - x2 }
Zu zeigen:
a) ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M
Der Nullvektor ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) des R3 erfüllt die Definition von M, da gilt:
0 = x1 + x2 = 0 + 0
0 = x22 = 0 * 0
0 = x1 - x2 = 0 - 0
Also ist ( 0 , 0 , 0 ) ∈ M
b)
Gegenbeispiel:
r = ( 5 , 9 , -1 ) ∈ M, da mit x1 = 2, x2 = 3 gilt:
5 = x1 + x2
9 = x22
- 1 = x1 - x2
s = ( 9 , 16 , 1 ) ∈ M, da mit x1 = 5, x2 = 4 gilt:
9 = x1 + x2
16 = x22
1 = x1 - x2
Für ( r + s ) ergibt sich damit:
( r + s ) = ( 14 , 25 , 0 )
Damit nun ( r + s ) ∈ M ist, muss es x1, x2 , x3 ∈ R geben, sodass gilt:
x1 + x2 = 14
x22 = 25
x1 - x2 = 0
Aus der dritten Gleichung folgt:
x1 = x2
und damit aus der ersten Gleichung:
2 x1 = 14 <=> x1 = 7 = x2
Es ist jedoch:
x22 = 7 2 = 49 ≠ 25
Also hat ( r + s ) nicht die Form der Elemente von M und ist daher keines ihrer Elemente.
Damit aber ist die Menge M kein Untervektorraum.
