Sind die folgenden Mengen Untervektorräume?

Question

ich brauche eure Hilfe zu dieser Aufgabe.

Prüfe, ob die folgenden Mengen Untervektorräume sind:

M = {x ∈ ℝ² | x₁ + x₂ = 0}

N = {x ∈ ℝ² | x₁ + x₂ = 1}

P = {x ∈ ℝ² | x₁ * x₂ = 0}

Q = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + x₄ = 0 ; x₁ - x₂ + x₃ = 0 ; x₁ + 2x₂ - x₃ = 0}

Voraussetzung für Untervektorräume:

W ein Untervektorraum von V, wenn folgende Bedingung erfüllt sind.
a) u,v∈W⇒u+v∈W
b) k ist ein Skarla ⇒k⋅u∈W
Und W muss keine leere Menge sein.

Also folgt N ist kein Untervektorraum des ℝ² , da der Nullvektor nicht in N enthalten ist.

M ist ein Untervektorraum, da M ein homogenes linearen Gleichungssystem ist. (reicht das als Beweis?)

P sollte auch kein Untervektorraum sein, da wir ein Produkt (x₁*x₂) haben.

Ich brauche eure Tipps bzw. Hilfe zu Q. Was mache ich in diesem Fall? Wie kann ich beweisen, ob Q Untervektorraum ist oder nicht?

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Answer 1

 

  <<   M ist ein Untervektorraum, da M ein homogenes linearen Gleichungssystem ist.

    <<   (reicht das als Beweis?) 

    Ganz große Klasse, was du siehst. Reicht als Beweis; der  ===>  Kern eines  homogenen  LGS  ist stets ein  UVR  .

   <  <   Also folgt N ist kein Untervektorraum des ℝ2 , da der Nullvektor nicht in N enthalten ist.

     Spitzenmäßig.

    Zu P  ;  rein vom Bauchgefühl liegst du natürlich richtig,  wenn wir alles mit einem Produkt ablehnen. Aber warum genau geht es nicht auf?

     Wichtig ist beispielsweise:   Die Schnittmenge von zwei ( selbst von über_über_über ... )  abzählbar vielen Vektorräumen ist wieder ein Vektorraum.

    Und wie steht's mit der Vereinigung?

    Dass die Vereinigung von zwei Vektorräumen i.A. noch kein Vektorraum ist, steht ja in allen Lehrbüchern.

    Du weißt, man muss zitieren. Jetzt gibt es ein fossiles Forum oder Portal, das ist so tot wie der Triceratops . Trotzdem lässt dieser Editor seinen Namen nicht durch.  Und wenn du ihn auseinander schreibst, dass der dumme Editor es nicht merkt. Die Mods sind genervt ob der selbst gestellten Aufgabe, jedes Komma von mir zu lesen. Weil sie mich doch wieder abmahnen müssen, wenn ich es trotzdem verrate -  Schleichwerbung für einen Ritt auf dem Triceratops ...

   Die hatten echt Star Matematiker. Und einer war Student an einem amerikanischen College;  der kam mit einer Aufgabe wieder, die hat mich also sowas hat die mich aus den Schuhen gehauen.

   Zeige:  Die Vereinigung zweier Vektorräume  V1;2  ist genau dann ein Vektorraum, wenn V1 bereits Unterraum von V2 ist ( oder V2 von V1 )  Zu mindest mein Beweis hat was Geniales.

    Ziehen wir den Nutzen   ür dein P  .  Nach dem "  Satz vom Nullprodukt "  ist P die Vereinigung zweier Vektorräume;  nämlich x2 = 0   (  Abszisse  !  )  mit  x1  =  0  (  Ordinate  )

   Weder ist die Abszisse Teilmenge der Ordinate noch umgekehrt. Also nein.

   Ach übrigens; du bist ja schon ein  großes Kind. Es gibt kein Sandmännchen und keinen Weihnachtsmann;  es heißt nämlich nicht  "  Satz vom Nullprodukt "  , sondern  ===>  Zahlenkörper sind ===>  Nullteiler frei .

   Q ist aber eine Verallgemeinerung von M  ;  du hast ein homogenes    3  X  4  LGS  

Comments

  Im Betrieb galt ich ja als kindlich, weil ich gewohnheitsmäßig aus Comics, der Sesamstraße so wie der Augsburger Puppenkiste zitierte. Obwohl ja gerade die Muppets und die Sesamstraße ein Kind des surrealen absurden Theaters sind.

    Die Angst der Moderatoren vor fossilen Portalen  erinnert mich doch stark an die Saurierfurcht der Sesamstraße. Harry Monster will Ernie von seinem schönen Plüschsessel vertreiben;und da greift der zu einer klugen List:

   "  A dinosaur has escaped from the museum and has been running right through your bedroom ... "

   Wenn du mal so richtig von Herzen lachen willst; Youtube Sesamstraße:

    "  The Magic Apple "

   Ewig unvergessen jene Stunde in Kl.3b) als Rektor Richard Schmandt  jedem von uns noch eine abschließende Frage zum Tema Dino gestattete; es gab eine einzige Wortmeldung.  Reiner

    "  Woher weiß man eigentlich, dass die Dinosaurier  '  Dinosaurier  '  hießen?  "

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Аusgezeichnet! Vielen Dank für Ihre perfekte Erklärung! Eine letzte frage habe ich noch:

Wären die beiden auch kein UV 

U1 = {x ∈ ℝ2 | x²₁ + x²₂ = 0}

U2 = {x ∈ ℝ2 | x²₁ + x²₂ = 1}

weil sie bezüglich + nicht abgeschlossen sind denke ich

oder wenn ich z.B das habe: M = {x ∈ ℝ2 | x₁ + x₂ = x₁ - x₂ = 0} wäre das auch ein homogenes LGS?

Danke nochmals! :)

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       x1  ²  +  x2  ²  =  0       (  1  )

    eine  ===>  positiv definite ===>  homogene quadratische Form ( HQF )   Positiv definite  HQF zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Nullstelle trivial ist; einzige Lösung wäre ja ( ein Kreis mit Radius Null ) um den Ursprung. Der Raum, der nur den Nullpunkt enthält, ist zwar entartet ( und nulldimensional; warum? )  aber trotzdem ein  UVR  .  Prüfe es nach.

    Ich würd sogar fast sagen; bei einer HQF spielt es nicht mal eine Rolle, ob sie definit ist.  Ich tu jetzt mal was aus dem Ärmel schütteln

         y  ²  -  x  y  -  x  ²  =  0    |  :  x  ²       (  2a  )

     (  2a  )  beschreibt die  ===>  Asymptoten der beiden Äste einer  ===>  Hyperbel  ===>  Kegelschnitt  Ich setze noch

       m  :=  y / x     (  2b  )

     für die Steigung der Asymptote.  Dann folgt aus ( 2a ) die quadratische Gleichung

       m  ²  -  m  -  1  =  0       (  2c  )

    und selbstverständlich stellt die Asymptote y = m x einen  UVR  dar.

   Gegen dein U2 sticht ein  nahe liegender Einwand. Eine Menge  M  heißt ===>  konvex, wenn mit P1;2  €  M  auch die Verbindungsstrecke von P1 nach P2 in M liegt. Sämtliche Vektorräume sind konvex ( Hausaufgabe )

   Was du hast, ist der  ===>  topologische ===>  Rand des Einheitskreises.  Dieser ist nicht konvex; besteht ausschließlich aus ===> Eckpunkten.  Also kein UVR .

   Ich sage doch: Die Sesamstraße ist keine Vorschule, somdern Kabarett über Vorschule. Eine Szene, wo Ernie seinen Freund Bert durch sein Gesabbel nervt und am Einschlafen stört

   " Hey Bert ! I wonder whether a circle hast got no corners or very very many ... "

   Dein M ist ein homogenes LGS ; da ers aber linear unabhängig ist, kommt auch hier nur der triviale Nullraum raus. Aber immerhin ein UVR  .

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  Okay; gegen dein U2 spricht bereits, dass es den Nullvektor nicht enthält.