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Ich habe eine Frage zu einem Beweis : Es sei c = a+bi, dann gilt |c|2 = |a+bi|2 = |a|2+|bi|2 = |a|2+|b|2 = a²+b²
Ist dass zweite = berechtigt ???  Wenn ja, gilt dies auch für alle reellen Zahlen ?
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|a+bi|2 = |a|2+|bi|2

Das ist aber arger Bloedsinn ...

Das denke ich ja AUCH

Wenn mir jemand |a+bi|2 = |a|2+|bi|2 hinschreibt, wuerde ich annehmen, der Heini hat |a+b|=|a|+|b| gerechnet. Per Definition ist |a+bi|2 = a2+b2. Alles, was oben dazwischen steht, ist nur zufaellig richtig.

Zu welchem Beweis?

1 Antwort

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Ja klar, es gilt \( |a|^2 = a^2 \) und das gleiche gilt für \( b \)

Avatar von 39 k
Es geht um den zweiten Schritt : |a+bi|² = |a|²+|bi|²

Wenn du voraussetzt, dass a und b der Real- und der Imaginärteil von c sind,

gilt |c| = √(a^2 + b^2) .

und |c|^2 = a^2 + b^2

Daher

|c|2 = |a+bi|2 = |a|2+|bi|2 

= |a|^2 + |b|^2 * |i|^2

= |a|^2 + |b|^2 * 1^2

= |a|2+|b|= a²+b² 

|a+bi|2 = |a|2+|bi|2  Ist das eine äquivalenzumformung ?

Welcher meiner Umformungsschritte zwischen beiden Termen ist denn keine Äquivalenzumformung? 

(Vorausgesetzt, wie erwähnt:  a und b sind reell) 

|a+bi|2 = |a|2+|bi|2  Ist das eine äquivalenzumformung ?

Nein das ist eine Gleichung. Ich hoffe du kennst den Unterschied.

Gilt für alle a, b ∈ ℝ |a+b|² = |a|²+|b|² ?

Nein.          

Es gilt nur die Gleichung

|a+bi|2 = |a|2+|bi|2 , wenn a, b ∈ ℝ. 

Vgl. meine Rechnung oben. 

Ihr könnt euch vielleicht darauf einigen, dass

gilt für alle a, b ∈ ℝ in |a+ib|² = |a|²+|b|² . 

Das kann man mit dem Pythagoras zeigen. 

Ein anderes Problem?

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