|a+bi|2 = |a|2+|bi|2
Das ist aber arger Bloedsinn ...
Das denke ich ja AUCH
Wenn mir jemand |a+bi|2 = |a|2+|bi|2 hinschreibt, wuerde ich annehmen, der Heini hat |a+b|=|a|+|b| gerechnet. Per Definition ist |a+bi|2 = a2+b2. Alles, was oben dazwischen steht, ist nur zufaellig richtig.
Zu welchem Beweis?
Ja klar, es gilt \( |a|^2 = a^2 \) und das gleiche gilt für \( b \)
Wenn du voraussetzt, dass a und b der Real- und der Imaginärteil von c sind,
gilt |c| = √(a^2 + b^2) .
und |c|^2 = a^2 + b^2
Daher
|c|2 = |a+bi|2 = |a|2+|bi|2
= |a|^2 + |b|^2 * |i|^2
= |a|^2 + |b|^2 * 1^2
= |a|2+|b|2 = a²+b²
|a+bi|2 = |a|2+|bi|2 Ist das eine äquivalenzumformung ?
Welcher meiner Umformungsschritte zwischen beiden Termen ist denn keine Äquivalenzumformung?
(Vorausgesetzt, wie erwähnt: a und b sind reell)
Nein das ist eine Gleichung. Ich hoffe du kennst den Unterschied.
Gilt für alle a, b ∈ ℝ |a+b|² = |a|²+|b|² ?
Nein.
Es gilt nur die Gleichung
|a+bi|2 = |a|2+|bi|2 , wenn a, b ∈ ℝ.
Vgl. meine Rechnung oben.
Ihr könnt euch vielleicht darauf einigen, dass
gilt für alle a, b ∈ ℝ in |a+ib|² = |a|²+|b|² .
Das kann man mit dem Pythagoras zeigen.
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