Betrag einer komplexen Zahl mit Beweis

Question

Ich habe eine Frage zu einem Beweis : Es sei c = a+bi, dann gilt |c|² = |a+bi|² = |a|²+|bi|² = |a|²+|b|² = a²+b²
Ist dass zweite = berechtigt ???  Wenn ja, gilt dies auch für alle reellen Zahlen ?

Comments

|a+bi|² = |a|²+|bi|²

Das ist aber arger Bloedsinn ...

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Das denke ich ja AUCH

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Wenn mir jemand |a+bi|² = |a|²+|bi|² hinschreibt, wuerde ich annehmen, der Heini hat |a+b|=|a|+|b| gerechnet. Per Definition ist |a+bi|² = a²+b². Alles, was oben dazwischen steht, ist nur zufaellig richtig.

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Zu welchem Beweis?

Answer 1

Ja klar, es gilt \( |a|^2 = a^2 \) und das gleiche gilt für \( b \)

Comments

Es geht um den zweiten Schritt :|a+bi|² = |a|²+|bi|²

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Wenn du voraussetzt, dass a und b der Real- und der Imaginärteil von c sind,

gilt |c| = √(a^2 + b^2) .

und |c|^2 = a^2 + b^2

Daher

|c|² = |a+bi|² = |a|²+|bi|² 

= |a|^2 + |b|^2 * |i|^2

= |a|^2 + |b|^2 * 1^2

= |a|²+|b|² = a²+b² 

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|a+bi|² = |a|²+|bi|²  Ist das eine äquivalenzumformung ?

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Welcher meiner Umformungsschritte zwischen beiden Termen ist denn keine Äquivalenzumformung?

(Vorausgesetzt, wie erwähnt:  a und b sind reell)

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|a+bi|² = |a|²+|bi|²  Ist das eine äquivalenzumformung ?

Nein das ist eine Gleichung. Ich hoffe du kennst den Unterschied.

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Gilt für alle a, b ∈ ℝ |a+b|² = |a|²+|b|² ?

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Nein.

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Es gilt nur die Gleichung

|a+bi|² = |a|²+|bi|² , wenn a, b ∈ ℝ. 

Vgl. meine Rechnung oben. 

Ihr könnt euch vielleicht darauf einigen, dass

gilt für alle a, b ∈ ℝ in |a+ib|² = |a|²+|b|² . 

Das kann man mit dem Pythagoras zeigen.