Warum ist die Menge M_(1)= { x ∈ K^n | x_(2)x_(5) = 0} mit n≥5 kein Untervektorraum?

Question

Hi,

Ich weiß, dass die Menge M₁= { x ∈ Kⁿ | x₂x₅ = 0} mit n≥5, kein K-Untervektorraum von Kⁿ ist.

Die Menge M₂=  { x ∈ Kⁿ | x₂= 0} hingegen schon.

Warum ist denn M₁ kein K-UVR? Ich kann doch die gleiche Argumentation (Untervektorraumkriterien) benutzen wie im Fall M₂.

Ich muss das nicht beweisen können, ich würde es nur einfach gerne verstehen :D

Answer 1

seien  1∈ K und 0 ∈ K das Einselement und das neutrale Element der Multiplikation bzw. der Addition in K, dann gilt:

 (0,0,0,0,1,...) ∈ M₁ und (0,1,0,0,0,...) ∈ M₁ , weil jeweils  x₂ • x₅ = 0

aber (0,0,0,0,1,...) + (0,0,0,0,1,...)  =  (0,1,0,0,1,...) ∉ M₁ , weil x₂ • x₅ = 1 ≠ 0

→  M₁ ist also bzgl. der Addition nicht abgeschlossen.

Gruß Wolfgang

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Danke für deine Antwort :)