Wie stehen die beiden Terme im Verhältnis?

Question

Wie stehen (x+1)!   und    (x! + 2^x)   im Verhältnis ? ( < , > oder =)

Hierbei interressiert mich hauptsächlich der Rechenweg.

Answer 1

Hilfssatz: Für x≥3 ist x > 2^x/x!

Zu zeigen (x+1)!  >  (x! + 2^x) 

Nach Division durch x! bleibt x+1 > 1 + 2^x/x! oder x > 2^x/x! (siehe Hilfssatz).

Answer 2

Hi,

ich geh mal davon aus, dass gilt \( x \in \mathbb{N} \), dann gilt eine solche Relation nicht allgemein für alle \( x \in  \mathbb{N} \). Es gilt

$$ (1) \quad x = 1 \Rightarrow 2! = 2 < 1+ 2 =3  $$

$$  (2) \quad x = 2 \Rightarrow 3! = 6 =  2! + 4 = 6 $$

$$  (3) \quad x = 3 \Rightarrow4! = 24 > 3! + 2^3 = 6 +8 =14 $$

$$  (4) \quad x = 4 \Rightarrow 5! = 120 > 4! + 2^4 = 24 +16 = 40 $$

Allgemein gilt, \( \frac{(x+1)!}{x!} = x+1 \ge 3 \ge 1 + \frac{2^x}{x!} \) für \( x \ge 2 \), also gilt

$$ (x+1)! \ge x! + 2^x \text{ für } 2 \le x \in \mathbb{N}  $$