Sei V ein K-Vektorraum..... Beweisen Sie, dass die Vereinigungsmenge .... kein Untervektorraum ist.

Question

Sei V ein K-Vektorraum und U1, U2 ⊂ V zwei Untervektorr¨aume
mit U1 ⊄ U2 und U2 ⊄ U1. Beweisen Sie, dass die Vereinigungsmenge
U1 ∪ U2 ⊂ V kein Untervektorraum ist.

Leute :)

Answer 1

wegen U1 ⊄ U2 und U2 ⊄ U1 existiert

v∈U1 und v∉U2        #  und

w∈U2 und w∉U1.     ##

sowohl v als auch w sind U1∪ U2.

Wäre das ein Unterraum müsste auch v+w in  U1∪ U2

sein, also müsste gelten

v+w  ∈  U1      oder    v+w  ∈ U2.

Das ist aber beides nicht möglich; denn

v+w  ∈  U1     und wegen v∈U1 auch   - v∈U1

also (v+w) + (-v)  ∈U1  also   w∈U1.  Widerspruch zu ##.

Entsprechend folgt aus  v+w  ∈ U2 ein

Widerspruch zu #.             q.e.d.

Comments

"v+w  ∈  U1    und wegen v∈U1 auch  - v∈U1"

Ich kann deinem Beweis ganz gut folgen, kannst du mir aber noch erklären, warum
-v∈U1 sein muss wenn v∈U1?

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Weil U ein Unterraum, also selber auch ein Vektorraum ist und

in jedem Vektorraum V ist  (V,+) eine abelsche Gruppe,

also hat jeder Vektor auch sein additives Inverses in

diesem Raum, und das ist zu v eben -v.