Untervektorraum mit Begründung. Sind U1 = {x ∈ ℝ^n |Ax=0} und U2 = {x ∈ ℝ^n | Ax = b} Untervektorräume des ℝ^n?

Question

Es seien A eine n × n-Matrix und b≠0 ein Vektor der Länge n über ℝ.

Sind die Mengen U₁ = {x ∈ ℝⁿ | Ax = 0} und U₂ = {x ∈ ℝⁿ | Ax = b} Untervektorräume des ℝⁿ ?

Wie kann man diese Aufgabe lösen?

Danke

Comments

Überprüfe ob die Eigenschaften eines Untervektorraums erfüllt sind.

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 Also ich bin der Meinung, dass U₂ den Nullvektor 0 nicht enthält und somit kein Untervektorraum von ℝⁿ.

 U₁ enthält meiner Meinung nach den Nullvektor und die Addition ist auch gegeben mit c,d∈ℝⁿ Ac+Ad=0 ⇒2A*(c+d)

 2a=A

 (c+d) = x

  Beider Multiplikation: e∈ℝⁿ

 0=k*(Ae)=kAe 

 kA=A oder ke=x ??? Wie mache ich das hier?

Ansonsten richtig?

 

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Kommentar zu deinem ersten Satz:

"Also ich bin der Meinung, dass U₂ den Nullvektor 0 nicht enthält, falls b≠0 und in diesem Fall kein Untervektorraum von ℝⁿ ist. "

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Okay danke.Wie mache ich das bei der Multiplikation und ist der Rest richtig?

Answer 1

Man kann diese Aufgabe lösen indem man überprüft ob die Eigenschaften eines Untervektorraums erfüllt sind.

Comments

 Also ich bin der Meinung, dass U₂ den Nullvektor 0 nicht enthält und somit kein Untervektorraum von ℝⁿ.

 U₁ enthält meiner Meinung nach den Nullvektor und die Addition ist auch gegeben mit c,d∈ℝⁿ Ac+Ad=0 ⇒2A*(c+d)

 2a=A

 (c+d) = x

  Beider Multiplikation: e∈ℝⁿ

 0=k*(Ae)=kAe 

 kA=A oder ke=x ??? Wie mache ich das hier?

Ansonsten richtig?