Zeigen Sie, dass U1= {x∈ℝℕ | x ist beschränkt} und U2 = {x∈ℝℕ | x ist eine Nullfoge} Untervektorräume sind

Question

Eine reelle Folge ist eine Abbildung \( x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ; \) gewöhnlich notiert man sie als \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) wobei \( x_{n}=x(n) \) gilt. Die Folge \( x \) heist beschränkt, falls gilt: \( \exists B \in \mathbb{R} \forall n \in \mathbb{N}:\left|x_{n}\right| \leq B . \) Die Folge \( x \) heibt eine Nullfolge, falls gilt: \( \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n \in \mathbb{N}_{\geq n_{0}}:\left|x_{n}\right|<\varepsilon \).

Zeigen Sie, dass

\( U_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid x\right. \) ist beschränkt \( \} \) und \( U_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid x\right. \) ist eine Nullfolge \( \} \)

Untervektorräume des Vektorraums \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}}=\operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R}) \) über \( \mathbb{R} \) sind. Bemerkung. Der Raum \( U_{1} \) spielt eine grundlegende Rolle in der Funktionalanalysis; ausgestattet mit der sogenannten Supremumsnorm wird er gewöhnlich mit \( \ell^{\infty} \) bezeichnet. Der Raum \( U_{2} \), mit der Supremumsnorm, wird oftmals mit \( c_{0} \) bezeichnet.

Die ist eine Aufgabe für HHU/Lineare Algebra I/Klopsch.

Answer 1

Hallo,

sei a eine Schranke von x und b eine Schranke von y. Dann ist c = a + b eine Schranke von z = x + y.

Sei x eine Nullfolge und sei ein n₀ = n₀(ε) für x gewählt. Für die Nullfolge y sei m₀ = m₀(ε) gewählt. Dann ergibt sich p₀ = p₀(ε) aus p₀(ε) = max(n₀(ε/2), m₀(ε/2)) für die Folge z = x + y. z ist also eine Nullfolge.

Grüße

Mister