Dimension von Untervektorräume zeigen oder widerlegen: Bsp. dim( U1- U2) = dim(U1) + dim(U2) + dim(U1∩U2)

Question

Aufgabe:

Für zwei Unterräume U1,U2 eines Vektorraums V sei Folgendes definiert: U1-U2= {u1-u2| u1 e U1, u2 e U2}

Beweise oder widerlege:

i) U1-U2 ist ein UVR

ii) U-U = {0} für alle Unterräume U⊆ V

iii) U- U= ∅ für alle U⊆ V

iv) dim( U1- U2) = dim(U1)-dim(U2) + dim(U1∩U2)

v) dim( U1- U2) = dim(U1) + dim(U2) + dim(U1∩U2)

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht genau wie ich das beweisen/widerlegen soll und würde mich freuen wenn mir jemand weiter helfen könnte. :)

Comments

Tipp: \( U_1 - U_2 = U_1 + U_2 \)

Answer 1

i) U1-U2 ist ein UVR, weil gleich U1+U2

ii) U-U = {0} für alle Unterräume U⊆ V   , das ist U+U , also gleich U

iii) U- U= ∅ für alle U⊆ V   siehe ii)

iv) dim( U1- U2) = dim(U1)-dim(U2) + dim(U1∩U2)   nein 

v) dim( U1- U2) = dim(U1) + dim(U2) + dim(U1∩U2)  ja