zz: U2 liegt in U1 oder U1 plus U2 = V und zz: f(v)=v

Question

Aufgabe:

Es sei \( V \) ein endlich erzeugter Vektorraum über einem Körper \( K \) mit \( \operatorname{dim}(V)=n \geq 1 \).
(a) Seien \( U_{1}, U_{2} \subseteq V \) Untervektorräume mit \( \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=n-1 \). Beweisen Sie folgende Aussage: Entweder gilt \( U_{2} \subseteq U_{1} \), oder \( U_{1}+U_{2}=V \).
(b) Es sei \( f: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung und \( U \subseteq V \) ein Untervektorraum mit \( \operatorname{dim}(U)=n-1 \), sodass gilt: \( f \neq \operatorname{id}_{V} \) und \( f(\mathbf{u})=\mathbf{u} \) für alle \( \mathbf{u} \in U \). Zeigen Sie, dass \( U=\{\mathbf{v} \in V \mid f(\mathbf{v})=\mathbf{v}\} \).

Problem/Ansatz:

Mir wurde gesagt, dass aus Dimensionsgründen ein Untervektorraum, der U1 enthält, entweder U1 oder V, wie muss ich nun fortfahren?

Comments

Wende den Hinweis auf U_1+U_2 an

Answer 1

a)  " Mir wurde gesagt, ..." ist ja vielleicht nicht so ein schlagendes Argument.

Deshalb würde ich so vorgehen:

 \( U_{1}, U_{2} \subseteq V \) und  \( \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=n-1 \)

==> Es gibt eine Basis \( a_1, \dots , a_{n-1} \) von \( U_{1} \).

1. Fall:  \( U_{2} \subseteq U_{1} \) gilt nicht. Dann gibt es \( v \in U_{2} \) mit \( v \notin U_{1} \).

Also \( v,a_1, \dots , a_{n-1} \) linear unabhängig und alle in \( U_{1}+U_{2} \) enthalten.

Also \( \dim(U_{1}+U_{2}) \ge n \). Wegen \( U_{1}+U_{2} ⊆ V \) gilt also "gleich"

und somit \( U_{1}+U_{2} = V \).

2. Fall \( U_{1}+U_{2} = V \) gilt nicht. Also \( \dim(U_{1}+U_{2}) \lt n \)

Somit hat \( U_{1}+U_{2}  \) eine Basis mit weniger als n Elementen.

Da aber die linear unabhängigen   \( a_1, \dots , a_{n-1} \) alle in \( U_{1}+U_{2}  \) sind,

ist \( a_1, \dots , a_{n-1} \) eine Basis von \( U_{1}+U_{2}  \). Somit   \( U_{1}+U_{2} = U_{1} \).

Also   \( U_{2} \subseteq U_{1} \).

Comments

" Mir wurde gesagt, ..." ist ja vielleicht nicht so ein schlagendes Argument.

Wenn man die Tutoren oder Mitarbeiter an der Uni um Hilfe bittet, geben sie halt entsprechende Hinweise, die hilfreich sind und nicht - wie hier im Forum - eine mehr oder weniger abschreibfertige Lösung. Es ist also Aufgabe des Studenten, sich zu überlegen, inwiefern 1. der Hinweis gültig ist (Vorlesungsunterlagen) und 2. er hier anwendbar ist.