Zeigen Sie, dass (U1 plus U2 )orthogonal gleich U1 orth. plus U2 orth.

Question

Aufgabe:

Es seien \( U_{1}, U_{2} \) Untervektorräume eines endlich erzeugten Vektorraums \( V \) über einem Körper \( K \).
1. Zeigen Sie, dass \( \left(U_{1}+U_{2}\right)^{\perp}=U_{1}^{\perp} \cap U_{2}^{\perp} \).
2. Zeigen Sie, dass \( \left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{\perp}=U_{1}^{\perp}+U_{2}^{\perp} \). (Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Dimension beider Seiten.)

Problem/Ansatz:

Wir wissen dass \(U^{\perp}\) = l aus V: l(u)=0 für alle u aus U und wir wissen dim U plus dim \(U^{\perp}\) = dim V. Wie beweise ich dass die Aussage gilt?

Comments

Text erkannt:

Es in \( U^{+}=\left\{l \in V^{*}: l(u)=0 \quad \forall u \in l \ell\right. \) ein Unleneehlonaum.
Es giel: \( \operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{+}=\operatorname{dim} V(\operatorname{sak} 21) \)
\( \begin{array}{l} z:\left(U_{1}+U_{2}\right)^{1} \subseteq U_{1}^{+} \cap U_{2}^{+} \\ \operatorname{si} l \in\left(U_{1}+U_{2}\right)^{\perp} \\ \ell\left(u_{1}+u_{2}\right)=0 \quad \forall u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2} \\ l\left(u_{1}\right)=l\left(u_{2}\right)=0 \quad \forall u_{1} \in U_{1}, \forall u_{2} \in U_{2} \Rightarrow l \in U_{1}^{1} \cap U_{2}^{1} \\ \Rightarrow\left(u_{1}+u_{2}\right)^{\perp} \subseteq u_{1}^{\perp} \cap u_{2}^{\perp} \\ z_{2}: u_{1}^{1} \cap u_{2}^{2} \leq\left(U_{1}+U_{2}\right)^{+} \\ \end{array} \)

Ist dieser Ansatz richtig? Ich versuche zz dass im Endeffekt die lineare Abb l in beiden vorhanden ist und beides Äquivalent ist