0 Daumen
344 Aufrufe

Aufgabe:

Es seien U1,U2 U_{1}, U_{2} Untervektorräume eines endlich erzeugten Vektorraums V V über einem Körper K K .
1. Zeigen Sie, dass (U1+U2)=U1U2 \left(U_{1}+U_{2}\right)^{\perp}=U_{1}^{\perp} \cap U_{2}^{\perp} .
2. Zeigen Sie, dass (U1U2)=U1+U2 \left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{\perp}=U_{1}^{\perp}+U_{2}^{\perp} . (Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Dimension beider Seiten.)


Problem/Ansatz:

Wir wissen dass UU^{\perp} = l aus V: l(u)=0 für alle u aus U und wir wissen dim U plus dim UU^{\perp} = dim V. Wie beweise ich dass die Aussage gilt?

Avatar von

WhatsApp Bild 2024-06-16 um 17.59.18_bf1873ec.jpg

Text erkannt:

Es in U+={lV : l(u)=0ul U^{+}=\left\{l \in V^{*}: l(u)=0 \quad \forall u \in l \ell\right. ein Unleneehlonaum.
Es giel: dimU+dimU+=dimV(sak21) \operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{+}=\operatorname{dim} V(\operatorname{sak} 21)
z : (U1+U2)1U1+U2+sil(U1+U2)(u1+u2)=0u1U1,u2U2l(u1)=l(u2)=0u1U1,u2U2lU11U21(u1+u2)u1u2z2 : u11u22(U1+U2)+ \begin{array}{l} z:\left(U_{1}+U_{2}\right)^{1} \subseteq U_{1}^{+} \cap U_{2}^{+} \\ \operatorname{si} l \in\left(U_{1}+U_{2}\right)^{\perp} \\ \ell\left(u_{1}+u_{2}\right)=0 \quad \forall u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2} \\ l\left(u_{1}\right)=l\left(u_{2}\right)=0 \quad \forall u_{1} \in U_{1}, \forall u_{2} \in U_{2} \Rightarrow l \in U_{1}^{1} \cap U_{2}^{1} \\ \Rightarrow\left(u_{1}+u_{2}\right)^{\perp} \subseteq u_{1}^{\perp} \cap u_{2}^{\perp} \\ z_{2}: u_{1}^{1} \cap u_{2}^{2} \leq\left(U_{1}+U_{2}\right)^{+} \\ \end{array}

Ist dieser Ansatz richtig? Ich versuche zz dass im Endeffekt die lineare Abb l in beiden vorhanden ist und beides Äquivalent ist

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage