Dimension des Untervektorraums U1 geschnitten U2

Question

Aufgabe: Sei V ein Vektorraum und U1, U2 ⊂ V Untervektorräume von V.

a) Wenn dim U1 = 2 zeigen Sie dass U1 ⊆ U2 oder dim(U1 ∩ U2) ≤ 1.

Problem/Ansatz:

Mir fehlt bei dieser Aufgabe ein Ansatz, wie diese denn zu lösen ist. Ich kann nun ja keine Angaben zu den Dimensionen von V oder U2 treffen, solange diese endlichdimensional sind.

Answer 1

dim(U1)=2 ==> Es gibt eine Basis von U1 mit 2 Elementen

                         etwa     U1 = <a,b>.

1. Fall :  Keines dieser Basiselemente liegt in U2

             ==>    U1∩U2 = {0}

            ==> dim( U1∩U2) = 0 ≤ 1     Passt !

2. Fall : a∈U2 ∧ b∉U2

           ==>    U1∩U2 = <a>
            ==> dim( U1∩U2) = 1 ≤ 1    Passt !

3. Fall : b∈U2 ∧ a∉U2
          ==>    U1∩U2 = <b>
            ==> dim( U1∩U2) = 1 ≤ 1    Passt !

4. Fall : a∈U2 ∧ b∈U2
          ==>    U1∩U2 = <a,b> = U1

            ==>   U1 ⊆ U2   Passt auch !

In jedem der 4 Fälle gilt also

U1 ⊆ U2 oder dim(U1 ∩ U2) ≤ 1.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich hätte sonst versucht die Aufgabe mit der Dimensionsformel zu lösen. Wäre dies in dem Fall nicht auch möglich?

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Welche Formel meinst du denn ?

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Für den Fall ersten Fall, dass dim U1 = 2 und U1 = U2 folgt daraus, dass dim U2 = 2 und dim U1 + U2 = 2.

dim U1 ∩ U2 = dim U1 + dim U2 - dim U1 + U2 = 2 + 2 - 2 = 2 > 1

Und dies dann für die Fälle, dass U1 ⊂ U2 und U2 ⊂ U1.

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Kapier ich nicht.