Regel von L'Hospital; e-Funktion

Question

f_a(t)= (e^(1+a)t-e^(1-a)t) / 2a

Bestimmen Sie \( \lim\limits_{a\to0} \)f_a(t) für jedes konstante t!
Lösung mit Regel von L'Hospital.

lim f_a(t) = t* (e^(1+a)t +e^(1-a)t) /2 =te^t

Kann mir jemand die Rechenschritte aufzeigen, ich komme nicht auf die Lösung

Answer 1

Aloha :)

Hier soll der Grenzwert für \(a\to0\) mittels der Regel von L'Hospital (\(\ast\)) gebildet werden. Daher werden wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander nach der Grenzwert-Variablen \(a\) ableiten müssen:$$\phantom=\lim\limits_{a\to0}\frac{e^{(1+a)t}-e^{(1-a)t}}{2a}=\lim\limits_{a\to0}\frac{\pink{e^t}\cdot e^{at}-\pink{e^t}\cdot e^{-at}}{2a}=\pink{e^t}\cdot\lim\limits_{a\to0}\frac{e^{at}-e^{-at}}{2a}$$$$\stackrel{(\ast)}{=}e^t\cdot\lim\limits_{a\to0}\frac{t\cdot e^{at}-(-t)\cdot e^{-at}}{2}=e^t\cdot\lim\limits_{a\to0}\frac{te^{at}+te^{-at}}{2}=e^t\cdot\frac{t+t}{2}=t\cdot e^t$$

Answer 2

Leite Zähler und Nenner nach a ab.

Comments

Warum leite ich da nach a und nicht nach t ab

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Setze ich das a=0 ein im Zähler und leite das dann ab? So würde ich auf die Lösung kommen