Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von X

Question

Könnte mir jemand helfen bei folgender Aufgabe. Ich weiß irgendwie nicht wie ich die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit anwenden soll.

Text erkannt:

Sei \( p_{X, Y}(x, y) \) gegeben durch
\( \begin{array}{ll} p_{X, Y}(0,0)=0.4, & p_{X, Y}(0,1)=0.2, \\ p_{X, Y}(1,0)=0.1, & p_{X, Y}(1,1)=0.3 . \end{array} \)
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von \( X \), wenn \( Y=1 \), d.h. \( p_{X \mid Y}(x \mid 1) \) für \( x=0,1 \).

Text erkannt:

Sei \( p_{X, Y}(x, y) \) gegeben durch
\( \begin{array}{ll} p_{X, Y}(0,0)=0.4, & p_{X, Y}(0,1)=0.2, \\ p_{X, Y}(1,0)=0.1, & p_{X, Y}(1,1)=0.3 . \end{array} \)
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von \( X \), wenn \( Y=1 \), d.h. \( p_{X \mid Y}(x \mid 1) \) für \( x=0,1 \)

Answer 1

Probier mal, ob du es schaffst, den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel darzustellen.

Meine Lösung zur Kontrolle: PX|Y(0 | 1) = 0.4 ; PX|Y(1 | 1) = 0.6

Comments

	Y=0	Y=1
X=0	0,4	0,2
X=1	0,1	0,3

Asooooo. Die Notation hat mich nur verwirrt. Jetzt macht P(Y=1) =0,2+0,3=0,5 Sinn.

Ok jetzt testen für alle möglichen X.

PX|Y(0 | 1) = 0,2/0,5= 0,4

PX|Y(1| 1)= 0,3/0,5=0,6

Durch die Bedingung wird quasi immer geteilt und die Bedingung ist ja Y=1

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Prima gemacht.

Answer 2

Ich schreib es mal etwas abstrakter - also ohne 4-Feldertafel - auf.

Ich benutze aber das Symbol \(p_{X|Y=1}(x)\) statt \(p_{X|Y}(x|1)\), weil ersteres für mich geläufiger ist.

Wir benötigen auf jeden Fall $$P(Y=1)= p_{X,Y}(0,1) + p_{X,Y}(1,1) = 0.2+0.3 = \color{blue}{0.5}$$ Somit ergibt sich $$p_{X|Y=1}(0)= P(X=0|Y=1) = \ldots $$$$\ldots =\frac{\overbrace{P(X=0 \cap Y=1)}^{=p_{X,Y}(0,1)}}{P(Y=1)} = \frac{0.2}{\color{blue}{0.5}}= 0.4$$$$p_{X|Y=1}(1)= P(X=1|Y=1) = \ldots $$ $$\ldots =\frac{\overbrace{P(X=1 \cap Y=1)}^{=p_{X,Y}(1,1)}}{P(Y=1)} = \frac{0.3}{\color{blue}{0.5}}= 0.6$$