Für welches c ist p_{c} eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( p_{c} \) die Funktion auf \( \{0, \ldots, 4\} \) mit

\( p_{c}(0)=c, \quad p_{c}(1)=\frac{1}{4}, \quad p_{c}(2)=\frac{3}{16}, \quad p_{c}(3)=\frac{1}{8}, \quad p_{c}(4)=\frac{1}{16}, \)

wobei \( c \in \mathbb{R} \) ein Parameter ist.

(i) Für welches \( c \) ist \( p_{c} \) eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier nicht, was die Lösung sein könnte. Bei i)

Answer 1

pc(0) + pc(1) + pc(2) + pc(3) + pc(4) = 1

c + 1/4 + 3/16 + 1/8 + 1/16 = 1

c = 3/8

Comments

Wie

Text erkannt:

Aufgabe 3 (21 Punkte)
(a) Sei \( p_{c} \) die Funktion auf \( \{0, \ldots, 4\} \) mit
wobei \( c \in \mathbb{R} \) ein Parameter ist.
(i) Für welches \( c \) ist \( p_{c} \) eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?
(2 Punkte)
Sei nun \( X \) eine diskrete Zufallsvariable mit \( P(X=x)=p_{c}(x) \) für alle \( x \), wobei \( c \) der Parameter aus (i) ist.
(ii) Berechnen Sie \( P(|X-2| \leq 1) \).
(iii) Bestimmen Sie \( E\left[X^{2}\right] \).
(3 Punkte)
(2 Punkte)
(iv) Ist die Zufallsvariable
\( Y:=X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4) \)
unabhä̉ngig von \( X \) ? Begründen Sie Ihre Antwort.
(3 Punkte)
b) Seien \( X \) und \( Y \) unabhängige Zufallsvariablen mit \( E[X]=-1 \) und \( V[X]=2 \) sowie mit \( E\left[Y^{n}\right]=\frac{2}{2+n} \) für \( n=0,1,2, \ldots \)
(i) Berechnen Sie \( E\left[X Y^{4}\right] \).
(2 Punkte)
(ii) Berechnen Sie \( V[Y] \).
(2 Punkte)
(iii) Bestimmen Sie \( V[3 X-Y] \).
(2 Punkte
Sei \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) eine Folge unabhängiger und jeweils auf \( [0, \pi] \) gleichverteilter Zufallsva riablen.
(i) Bestimmen Sie eine Zahl \( a \in \mathbb{R} \), für die
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} \sin \left(X_{i}\right)-a\right| \geq \frac{1}{2024}\right)=0 \)

wie bestimmt man bei a) die Nummer ii)

Danke im Voraus

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ii) Berechnen Sie P(|X - 2| ≤ 1).

Ist es klar, dass die Zufallsgröße dann nur die Werte 1, 2 oder 3 annehmen kann?

|X - 2| ≤ 1 --> 1 ≤ X ≤ 3

P(1 ≤ X ≤ 3) = pc(1) + pc(2) + pc(3) = 1/4 + 3/16 + 1/8 = 9/16

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Wie kommt man auf P (1 <= X <= 3) ?

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Du kannst
|z| ≤ 1
umschreiben zu
-1 ≤ z ≤ 1
Ist das klar?

Also:
|x - 2| ≤ 1
-1 ≤ x - 2 ≤ 1
-1 + 2 ≤ x ≤ 1 + 2
1 ≤ x ≤ 3

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Bzw. Warum wurde die pc(0) auch nicht addiert, die ist ja auch kleiner gleich 3 ?

Danke im Voraus

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Achso habe es verstanden.

Vielen Dank!

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1 ≤ X ≤ 3

Aber 0 ist nicht größer oder gleich 1. Und beides muss erfüllt sein.

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Stimmt, danke !