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Eine lineare Abbildung P : R2R2 P: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} habe bzgl. der Basis
B : =([33],[10]) \mathcal{B}:=\left(\left[\begin{array}{c} -3 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]\right)
die Abbildungsmatrix
PBB : =[2354] P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ -5 & -4 \end{array}\right]

Des Weiteren sei die Basis
C : =([43],[1712]) \mathcal{C}:=\left(\left[\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 17 \\ -12 \end{array}\right]\right)
gegeben.
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix PBC P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} von P P bzgl. der Basis C \mathcal{C} (im Urbildraum) und der Basis B \mathcal{B} (im Bildraum).
PBC=[] P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc} \square & \square \\ \square & \\ \square & \\ & \\ & \end{array}\right]
b) Bestimmen Sie die Determinate det(P) \operatorname{det}(P) der Abbildung P P .
det(P)= \operatorname{det}(P)=

Aufgabe:

Abbildungsmatrix bestimmen


Problem/Ansatz:

Hallo, mein Ansatz bei dieser Aufgabe war folgender:

KCB=idCBKBBK_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow B}\cdot K_{B\leftarrow B}

idBS=(3130);idCS=(417312)\operatorname{id}_{B\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\3 & 0\end{array}\right)\quad;\quad \operatorname{id}_{C\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 17\\3 & -12\end{array}\right)

idCB=idCSidSB=idCS(idBS)1=(11/311)\operatorname{id}_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\operatorname{id}_{S\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\left(\operatorname{id}_{B\leftarrow S}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1/3\\1 & 1\end{array}\right)

KCB=(11/311)(2354)=(5/34/371)K_{C\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1/3\\1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}-2 & 3\\-5 & -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-5/3 & -4/3\\-7 & -1\end{array}\right)


Und dann dementsprechend die Determinante der Lösung. Mein Problem ist, dass ich anscheinend nicht die richtige Matrix hinbekomme, jedoch die richtige Determinante ausrechne. Ich kann mir leider nicht erklären wo der Fehler liegt und wäre über jegliche Hilfe dankbar :)

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Weiß einer weiter und kann mir eventuell helfen ob mein Ansatz richtig ist?

1 Antwort

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Aloha :)

Du hast einen kleinen aber entscheidenden Denkfehler. Die Koordinaten der Basisvektoren von BB sind bezüglich der Standardbasis SS angegeben. Du weißt also, wie die Baisvektoren von BB bezüglich SS aussehen. Daher lautet die Transformationsmatrix von BB nach SS:TSB=(3130)T_{S\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\3 & 0\end{array}\right)Analog kennst du die Transformationsmatrix von CC nach SS:TSC=(417312)T_{S\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 17\\3 & -12\end{array}\right)

Du brauchst die Transformationsmatrix von CC nach BB:TBC=TBSTSC=(TSB)1TSC=(1415)T_{B\leftarrow C}=T_{B\leftarrow S}\cdot T_{S\leftarrow C}=\left(T_{S\leftarrow B}\right)^{-1}\cdot T_{S\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rr}1 & -4\\-1 & 5\end{array}\right)

Daraus folgt nun die gesuchte Abbildungsmatrix:PBC=PBBTBC=(52310)P_{B\leftarrow C}=P_{B\leftarrow B}\cdot T_{B\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rr}-5 & 23\\-1 & 0\end{array}\right)

Für die Determinante gilt:det(P)=det(TSBPBBTBS)=det(TSB)det(PBB)det(TBS)\operatorname{det}(P)=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B}\cdot P_{B\leftarrow B}\cdot T_{B\leftarrow S})=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B})\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})\cdot\operatorname{det}(T_{B\leftarrow S})det(P)=det(TSB)det(TBS)det(PBB)=det(TSBTBS)det(PBB)\phantom{\operatorname{det}(P)}=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B})\cdot\operatorname{det}(T_{B\leftarrow S})\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B}\cdot T_{B\leftarrow S})\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})det(P)=det(1)det(PBB)=det(PBB)=23\phantom{\operatorname{det}(P)}=\operatorname{det}(\mathbf 1)\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})=\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})=23

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)

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