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Text erkannt:
Eine lineare Abbildung \( P: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) habe bzgl. der Basis
\( \mathcal{B}:=\left(\left[\begin{array}{c} -3 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]\right) \)
die Abbildungsmatrix
\( P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ -5 & -4 \end{array}\right] \)
Des Weiteren sei die Basis
\( \mathcal{C}:=\left(\left[\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 17 \\ -12 \end{array}\right]\right) \)
gegeben.
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix \( P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} \) von \( P \) bzgl. der Basis \( \mathcal{C} \) (im Urbildraum) und der Basis \( \mathcal{B} \) (im Bildraum).
\( P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc} \square & \square \\ \square & \\ \square & \\ & \\ & \end{array}\right] \)
b) Bestimmen Sie die Determinate \( \operatorname{det}(P) \) der Abbildung \( P \).
\( \operatorname{det}(P)= \)
Aufgabe:
Abbildungsmatrix bestimmen
Problem/Ansatz:
Hallo, mein Ansatz bei dieser Aufgabe war folgender:
\(K_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow B}\cdot K_{B\leftarrow B}\)
\(\operatorname{id}_{B\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\3 & 0\end{array}\right)\quad;\quad \operatorname{id}_{C\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 17\\3 & -12\end{array}\right)\)
\(\operatorname{id}_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\operatorname{id}_{S\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\left(\operatorname{id}_{B\leftarrow S}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1/3\\1 & 1\end{array}\right)\)
\(K_{C\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1/3\\1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}-2 & 3\\-5 & -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-5/3 & -4/3\\-7 & -1\end{array}\right)\)
Und dann dementsprechend die Determinante der Lösung. Mein Problem ist, dass ich anscheinend nicht die richtige Matrix hinbekomme, jedoch die richtige Determinante ausrechne. Ich kann mir leider nicht erklären wo der Fehler liegt und wäre über jegliche Hilfe dankbar :)