Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} von P bzgl.

Question

Text erkannt:

Eine lineare Abbildung \( P: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) habe bzgl. der Basis
\( \mathcal{B}:=\left(\left[\begin{array}{c} -3 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]\right) \)
die Abbildungsmatrix
\( P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ -5 & -4 \end{array}\right] \)

Des Weiteren sei die Basis
\( \mathcal{C}:=\left(\left[\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 17 \\ -12 \end{array}\right]\right) \)
gegeben.
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix \( P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} \) von \( P \) bzgl. der Basis \( \mathcal{C} \) (im Urbildraum) und der Basis \( \mathcal{B} \) (im Bildraum).
\( P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc} \square & \square \\ \square & \\ \square & \\ & \\ & \end{array}\right] \)
b) Bestimmen Sie die Determinate \( \operatorname{det}(P) \) der Abbildung \( P \).
\( \operatorname{det}(P)= \)

Aufgabe:

Abbildungsmatrix bestimmen

Problem/Ansatz:

Hallo, mein Ansatz bei dieser Aufgabe war folgender:

\(K_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow B}\cdot K_{B\leftarrow B}\)

\(\operatorname{id}_{B\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\3 & 0\end{array}\right)\quad;\quad \operatorname{id}_{C\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 17\\3 & -12\end{array}\right)\)

\(\operatorname{id}_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\operatorname{id}_{S\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\left(\operatorname{id}_{B\leftarrow S}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1/3\\1 & 1\end{array}\right)\)

\(K_{C\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1/3\\1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}-2 & 3\\-5 & -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-5/3 & -4/3\\-7 & -1\end{array}\right)\)

Und dann dementsprechend die Determinante der Lösung. Mein Problem ist, dass ich anscheinend nicht die richtige Matrix hinbekomme, jedoch die richtige Determinante ausrechne. Ich kann mir leider nicht erklären wo der Fehler liegt und wäre über jegliche Hilfe dankbar :)

Comments

Weiß einer weiter und kann mir eventuell helfen ob mein Ansatz richtig ist?

Answer 1

Aloha :)

Du hast einen kleinen aber entscheidenden Denkfehler. Die Koordinaten der Basisvektoren von \(B\) sind bezüglich der Standardbasis \(S\) angegeben. Du weißt also, wie die Baisvektoren von \(B\) bezüglich \(S\) aussehen. Daher lautet die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(S\):$$T_{S\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\3 & 0\end{array}\right)$$Analog kennst du die Transformationsmatrix von \(C\) nach \(S\):$$T_{S\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 17\\3 & -12\end{array}\right)$$

Du brauchst die Transformationsmatrix von \(C\) nach \(B\):$$T_{B\leftarrow C}=T_{B\leftarrow S}\cdot T_{S\leftarrow C}=\left(T_{S\leftarrow B}\right)^{-1}\cdot T_{S\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rr}1 & -4\\-1 & 5\end{array}\right)$$

Daraus folgt nun die gesuchte Abbildungsmatrix:$$P_{B\leftarrow C}=P_{B\leftarrow B}\cdot T_{B\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rr}-5 & 23\\-1 & 0\end{array}\right)$$

Für die Determinante gilt:$$\operatorname{det}(P)=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B}\cdot P_{B\leftarrow B}\cdot T_{B\leftarrow S})=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B})\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})\cdot\operatorname{det}(T_{B\leftarrow S})$$$$\phantom{\operatorname{det}(P)}=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B})\cdot\operatorname{det}(T_{B\leftarrow S})\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})=\operatorname{det}(T_{S\leftarrow B}\cdot T_{B\leftarrow S})\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})$$$$\phantom{\operatorname{det}(P)}=\operatorname{det}(\mathbf 1)\cdot\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})=\operatorname{det}(P_{B\leftarrow B})=23$$

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)