var(X) = 1/2 E[(X-Y)2] für X,Y u.i.v.

Question

Aufgabe:

z.z.: var(X) = 1/2 E[(X-Y)²] für X und Y u.i.v. in L²

Ich verstehe leider gar nicht wo dieses Y da auf einmal herkommen soll, vielleicht kann mir das jemand erklären.

Comments

Ein Vorschlag:
\(\begin{aligned}E\big((X-Y)^2\big)&=E(X^2-2XY+Y^2)\\&=E(X^2)-2E(X)E(Y)+E(Y^2)\\&=E(X^2)-2{\big(E(X)\big)}^2+E(X^2)\\&=2E(X^2)-2{\big(E(X)\big)}^2\\&=2\mathrm{Var}(X).\end{aligned}\)