Stochastik: Varianz von Y = (X-E(X)) / (sqrt(Var(X)) )?

Question

Sei X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X) und Varianz Var(X). Bestimmen Sie die Varianz von

                              Y=(X-E(X))/(sqrt(Var(X)))

Answer 1

du musst mit der Definition des Erwartungswerts und ein paar Rechenregeln hantieren.

Zu allerst:

$$ E(Y) = E \left( \frac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}} \right) = \frac{E(X)-E(X)}{\sqrt{V(X)} } = 0$$

und

$$ V(Y) = E(Y^2) - (E(Y)))^2 = E(Y^2) = E \left(\frac{(X-E(X))^2}{V(X)} \right) \\ = \frac{ E((X-E(X))^2)}{V(X) } = \frac{V(X)}{V(X)} = 1$$

Gruß

Comments

Danke, für deine Hilfe. Ich habe die Lösung auch gerade gefunden, aber noch nicht verstanden...

Wieso kann ich denn E(Y) = E( X - E(X) / sqrt(Var(x)) annehmen? Ich glaube daran scheitert es gerade

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Weil Y diese Form hat....

Wäre Y = 2X wäre ja auch E(Y) = E(2X)....

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Ich habe hier einen Satz der besagt, der Erwartungswert einer Konstante ist eben diese Konstante.

Daher kann ich  E(Y) = Y  bzw. E(X) = X annehmen?

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Das stimmt (solltest du dir selber klar machen warum). Aber in dieser Aufgabe sind Y und X keine konstanten. Allerdings sind E(X) und V(X) ja Konstanten. Also gilt E(E(X)) = E(X) und E(V(X))  = V(X). Außerdem benötigst du noch für die obigen Umformungen die Erkenntnisse, dass der Erwartungswert linear ist!

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Super danke, ich versuch es nochmal

Answer 2

Hi,
mit $$ Y = \frac{X - E(X)}{\sqrt{Var(X)}} $$ und wenn man $$ Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 $$ benutzt folgt
$$ (1) \quad E(Y) = E\left( \frac{X - E(X)}{\sqrt{Var(X)}}  \right) = \frac{E(X) - E(X)}{\sqrt{Var(x)}} = 0  $$
Weiter gilt
$$ (2) \quad Var(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 = E\left[ \left( \frac{X - E(X)}{\sqrt{Var(X)}}  \right)^2 \right] - \left[ E \left( \frac{X - E(X)}{\sqrt{Var(X)}}  \right) \right]^2 $$
Es gilt $$ E \left( \frac{X - E(X)}{\sqrt{Var(X)}}  \right) = 0  $$ und
$$  E\left[ \left( \frac{X - E(X)}{\sqrt{Var(X)}}  \right)^2 \right] = E \left[ \frac{X^2 -2 \cdot X \cdot E(X) + E(X)^2}{E(X^2) - E(X)^2}  \right] $$ und das ist gleich
$$ \left[ \frac{E(X^2) -2E(X)^2 + E(X)^2}{E(X^2) - E(X)^2}  \right] = \frac{E(X^2) -E(X)^2}{E(X^2) - E(X)^2} = 1 $$

Answer 3

Var(Y) = 1 und E(W) = 0
Man nennt standardisierte Zufallsvariable. Aber ich wäre Euch dankbar, wenn einer mal erklären könnte, wie man darauf kommt..
Was ich zu der Formel ja weiß ist, Var(x) = E(x^2) - E(x)^2
Wenn ich also die Formel quadriere und dann Var(x)=... einsetze komme ich auf
Y = (x^2 - E(x)^2}) /  (E(x^2)-E(x)^2) 
Edit:

Also ich habe es jetzt, bin aber noch nicht wirklich hinter gestiegen...  Aber so soll es gehen
E(Y) = 1 / sqrt(var(x)) * E(x) - (E(x) / sqrt(var(x)) = 0 Var(Y) = (1 / var(x) ) * var(x)  = 1