Halbwertszeit eines Isotops

Question

Aufgabe Halbwertszeit eines Isotops:

Der radioaktive Zerfall des lod-Isotops 131I verhält sich gemäß der Funktion \( N \) mit \( N(t) = N(0) \cdot e^{-0,086 \cdot t} \) mit \( t \) in Tagen.

Kreuzen Sie diejenige(n) Gleichung(en) an, mit der/denen die Halbwertszeit des Isotops in Tagen berechnet werden kann!

[ ] \( \ln \left(\frac{1}{2}\right)=-0,086 \cdot t \cdot \ln \theta \)

[ ] \( 2=e^{-0,086 \cdot t} \)

[ ] \( N(0)=\frac{N(0)}{2} \cdot e^{-0,086 \cdot t} \)

[ ] \( \ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 0,086 \cdot t \cdot e \)

[ ] \( \frac{1}{2}=1 \cdot e^{-0,086 \cdot t} \)

Answer 1

Ich habe mal ein Video gemacht, wie ich an die Aufgabe herangehen würde:

Answer 2

N ( t ) = N ( 0 ) * e ^{- 0,086 * t}

t ist genau dann gleich der Halbwertszeit, wenn gilt:

N ( t ) = ( 1 / 2 ) * N ( 0 )

Einsetzen:

( 1 / 2 ) N ( 0 ) = N ( 0 ) * e ^{- 0,086 * t}

Kürzen mit N ( 0 ) :

<=> ( 1 / 2 ) = 1 * e ^{- 0,086 * t}  (Das ist die fünfte Gleichung)

<=> ln ( 1 / 2 ) = ln ( e ^{- 0,086 * t} )  * 1

<=> ln ( 1 / 2 ) = - 0,086 * t * ln  e ( denn ln e = 1 ) ( Das ist die erste Gleichung)

 

Die Gleichung 2 stimmt mit ihrer rechten Seite mit der Gleichung 5 überein, ihre linke Seite ist jedoch der Kehrwert der linken Seite von Gleichung 5. Da Gleichung 5 korrekt ist muss daher Gleichung 2 falsch sein.

Gleichung 3 ist äquivalent zu Gleichung 2 ( Gleichung 2 wurde mit N ( 0 ) / 2 multipliziert. Da Gleichung 2 falsch ist, muss daher auch Gleichung 3 falsch sein.

Gleichung 4 stimmt mit ihrer linken Seite mit Gleichung 1 überein. Da Gleichung 1 richtig ist, müsste auch die rechte Seite von Gleichung 4 mit der rechten Seite von Gleichung 1 übereinstimmen, es müsste also gelten:

- 0,086  * t * ln e = - ln ( 0,086 ) * t  * e

<=> - 0,086 * t = - ln ( 0,086 ) * t  * e

<=> - 0,086 = - ln ( 0,086 ) * e 

<=> - 0,086 =  6,669...

Das ist offensichtlich unwahr. Da Gleichung 1 aber richtig ist, kann Gleichung 4 nur falsch sein, da sie nicht äquivalent zu Gleichung 1 ist.