Halbwertszeit eines Stoffes, der nach 12 Jahren auf 1/8 seiner Masse zerfällt.

Question

Wenn ein Stoff nach 12 Jahren auf 1/8 seiner Masse zerfällt, nach wie viel Jahren ist dann die Halbwertszeit erreicht?

Answer 1

Nach 4 Jahren zerfällt die Hälfte. Nah 8 Jahren haben wir dann noch 1/4. Und nach 12 Jahren nur noch 1/8.

(1/8)^{1/12} = ((1/2)^3)^{1/12} = (1/2)^{1/4}

Answer 2

q sei der Faktor mit dem die Masse jedes Jahr multipliziert wird

12 Jahren auf 1/8 seiner Masse zerfällt,

q^12 = 1/8

nach wie viel Jahren (x) ist dann die Halbwertszeit erreicht?

q^x = 1/2

q^12 = 1/8 = 1/2^3 = (1/2)^3         |^{1/3}

(q^12) ^{1/3} = q^4 = 1/2^3 ^{1/3} = 1/2

Also: Halbwertszeit ist 4 Jahre.

Kurzversion und Kontrolle:

Nach 12 Jahren wurde die Masse schon 3 mal halbiert: von 1 zu 1/2 zu 1/4 zu 1/8

Deshalb ist die Halbwertszeit 12/3 = 4 Jahre.

Answer 3

Nach 4 Jahren ist die Halbwertszeit erreicht:

 

Man könnte es so rechnen:

x^12 = 1/8

x ≈ 0,8409

0,8409^y = 1/2

y ≈ 4

 

Das führt zur exakteren Rechnung ohne Rundungsfehler:

ln(0,5) / ln((1/8)^{1/12}) = 4

 

Plausibilitätsüberprüfung: 

Nach 4 Jahren ist noch die Hälfte des Stoffes vorhanden, nach 8 Jahren noch ein Viertel, nach 12 Jahren noch ein Achtel.