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Aufgabe:


Sei die Zufallsvariable X normalverteilt mit

$$F(4+x) = 1-F(4-x)\quad , x\in\mathbb{R}$$

und

$$max_{x\in \mathbb{R}}f(x) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}$$


man ermittle: $$ E(X) = \mu \quad und \quad Var(X) = \sigma^{2}$$


Ansatz:

E(X) ist ja (meines Wissens nach) angegeben mit dem Maximum der Dichtefunktion, welches ja den Erwartungswert E(X) darstellt. Also: $$\frac{1}{\sqrt{8\pi}}$$

Weiter komme ich bei dieser Aufgabe jedoch leider nicht. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen!

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Aloha :)

Die Zufallsgröße \(x\) ist normal-verteilt mit der Dichtefunktion \(f(t)\) und der Verteilungsfunktion \(F(x)\):

$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\,dt\quad;\quad f(t)=\frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}$$In \(f(t)\) ist der Exponent \(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\) immer \(\le0\), der Faktor \(e^\cdots\) ist also immer \(\le1\) und wird exakt \(1\) bei \(t=\mu\). In der Aufgabenstellung ist \(f_{max}=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\) vorgegeben, sodass:$$\frac{1}{\sqrt{8\pi}}=f_{max}=f(t=\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\quad\Rightarrow\quad\underline{\sigma=2}$$

Weiter wissen wir aus der Aufgabenstellung, dass \(F(x+4)=1-F(4-x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, also können wir auch \(x=0\) einsetzen und finden:$$F(0+4)=1-F(4-0)\;\;\Leftrightarrow\;\;F(4)=1-F(4)\;\;\Leftrightarrow\;\;2\cdot F(4)=1\;\;\Leftrightarrow\;\;F(4)=\frac{1}{2}$$Bei \(x=4\) hat die Verteilungsfunktion \(F(x)\) ihren halben Maximalwert von \(1\) erreicht, d.h.: \(\underline{\mu=4}\)

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Hallo Nicohe.

E(X) ist ja (meines Wissens nach) angegeben mit dem Maximum der Dichtefunktion, welches ja den Erwartungswert E(X) darstellt. Also:

E(X) ist der Erwartungswert und damit die Stelle x an der das Maximum der Dichtefunktion liegt. Es ist nicht der Funktionswert der Dichtefunktion an dieser Stelle.

F(4 + x) = 1 - F(4 - x)

Kannst du vermuten was die 4 in diesem Kontext zu bedeuten hat? Kannst du das begründen?

1/(√(2·pi)·σ) = 1/√(8·pi) → σ = 2

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Hallo und danke für die schnelle Antwort!

Okay also handelt es sich bei E(X) sozusagen um die Position auf der X-Achse und nicht um den eigentlichen Wert an der Stelle? Soweit so gut.


1/(√(2·pi)·σ) = 1/√(8·pi) → σ = 2

Also ist Var(X) = 2^2 = 4. 
Aber woher kommt das 1/(√(2·pi)·σ) ?

 blob.png  
Gefunden habe ich es, aber keinen Zusammenhang...

Nun fehlt ja auch noch das E(X).

Kannst du vermuten was die 4 in diesem Kontext zu bedeuten hat? Kannst du das begründen?

Leider finde ich dazu weiter nichts...

Zeichne dir Mal eine Normalverteilung auf mit Erwartungswert μ. Denk dir von mir aus irgendeinen beliebigen Wert für μ (z.B. 10) aus. Jetzt denkst du dir noch einen beliebigen Wert für x (z.B. 2) aus. Aus vereinfachungsgründen kannst du auch gerne σ = x wählen.

Könntest du jetzt zeichnen was man mit F(μ + x) und mit 1 - F(μ - x) berechnet?

Wenn nicht solltest du die Grundlagen der Normalverteilung ansehen.

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