Stetige Verteilung - Dichtefunktion, Erwartungswert und Varianz

Question

Stetige Verteilung

Alle Individuen einer Tierart erkranken an einer bestimmten Krankheit. Der Ausbruchszeitpunkt \( X \) während eines Jahres skaliert auf das Intervall \( [0,1] \) ist zufällig und wird durch die Dichtefunktion
\( f(x):=6 x(1-x) \cdot \mathbb{1}_{[0,1]}(x), \)
beschrieben.
(i) Zeigen Sie, dass \( f \) eine Dichtefunktion ist, d.h. \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x=1 \)
(ii) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion \( F \) von \( X \).
(iii) Zeichnen Sie \( f \) und \( F \).
(iv) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von folgenden Ereignissen:
- Die Krankheit bricht bei einem zufälligen Tier im Zeitraum bis zu einem halben Jahr aus.
- Die Krankheit bricht bei einem Tier nach Ablauf des 3. Monats aus.
(v) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von \( X \).

Answer 1

f(x) = 6·x·(1 - x) für x ∈ [0, 1] sonst 0

a)

Berechne mal die Nullstellen der nach unten geöffneten Parabel, und erkläre dann warum f(x) ≥ 0 gilt.

Integriere dann speziell im Intervall von 0 bis 1 und Zeige das dort 1 heraus kommt.

Comments

Die Nullstellen sind x1= 0 und x2=1 und die Parabel ist nach unten geöffnet, heißt für mich sind nur die Werte von den Nullstellen bis zur Extremstelle.

Und für F(x) einfach F(x)=\( \int\limits_{0}^{1}6x*(1-x) \)

---

Du solltest von 0 bis 1 integrieren und zeigen das dort 1 heraus kommt.

Du kannst dazu das berechnen der Verteilungsfunktion bzw. Stammfunktion auch vorziehen. Aber dann sollte die Stammfunktion dort auch ohne integral stehen.

---

So habe ich integriert und bewiesen, dass F(x)=1 ist

Text erkannt:

(i) \( \begin{aligned} & \int \limits_{0}^{1} 6 x(1-x) d x \\=& 6 \int \limits_{0} x(1-x) d x \\=& 6 \int \limits_{3} x-x^{2} d x \\=& 6 \int \limits_{x} x d x-\int \limits_{x}^{2} d x \\=& 6\left(\frac{x^{2}}{2}-\int \limits_{x^{2}} x^{2} d x\right) \\=& 6\left(\frac{x^{0}}{2}-\frac{x^{2}}{3}\right) \\=& 3 x^{2}-2 x^{3} \\=&\left.\left(3 x^{2}-2 x^{3}\right)\right|_{0} ^{1} \\=& 3 \cdot 1^{2}-2 \cdot 1^{3}-\left(30^{2}-2 \cdot 0^{1}\right) \\=& 3-2-0 \\=& 1 \end{aligned} \)

Und für (ii) muss ich einfach f(x) ingetrieren von -unendlich bis unendlich um auf die Verteilungsfunktion zu kommen?

---

Bei (iv) habe ich leider keine Ahnung. Bei (v) habe die Formeln verstanden für die Varianz und den Erwarzungswert, aber die Beispiele im Internet (https://www.mathebibel.de/erwartungswert, https://www.maths2mind.com/schluesselwoerter/erwartungswert-stetige-verteilung) sehen anders aus. Dort ist eine andere Funktionsdarstellung…

---

(iv) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von folgenden Ereignissen:
- Die Krankheit bricht bei einem zufälligen Tier im Zeitraum bis zu einem halben Jahr aus.
- Die Krankheit bricht bei einem Tier nach Ablauf des 3. Monats aus.

Hier sind bestimmte Integrale gefragt

- Die Krankheit bricht bei einem zufälligen Tier im Zeitraum bis zu einem halben Jahr aus.

Das Integral von 0 bis 1/2. Da die Parabel symmetrisch ist, ist die WK 0.5.

- Die Krankheit bricht bei einem Tier nach Ablauf des 3. Monats aus.

Das Integral von 0.25 bis 1.

Hier gehen wir mal vereinfacht von einem Jahr mit 360 Tagen und einer Monatsdauer von 30 Tagen aus.

(v) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von \( X \).

E = ∫ (0 bis 1) (x * f(x))

V = ∫ (0 bis 1) ((x - E)^2 * f(x))

---

f(x) ist ja 6x*(1-x)

Was ist dann das x?

Oder muss ich einfach ∫ (0 bis 1) (x * (6x*(1-x)) rechnen?

---

Oder muss ich einfach ∫ (0 bis 1) (x * (6x*(1-x)) rechnen?

Ja genau so wirds gerechnet.

Du solltest in diesem Fall auch den Erwartungswert leicht ablesen können.

---

Habe für E(X)= 0,5 raus und für V(X)=\( \frac{1}{20} \) raus

---

Das ist richtig. Prima gemacht.