Aloha :)
Die Zufallsgröße \(x\) ist normal-verteilt mit der Dichtefunktion \(f(t)\) und der Verteilungsfunktion \(F(x)\):
$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\,dt\quad;\quad f(t)=\frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}$$In \(f(t)\) ist der Exponent \(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\) immer \(\le0\), der Faktor \(e^\cdots\) ist also immer \(\le1\) und wird exakt \(1\) bei \(t=\mu\). In der Aufgabenstellung ist \(f_{max}=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\) vorgegeben, sodass:$$\frac{1}{\sqrt{8\pi}}=f_{max}=f(t=\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\quad\Rightarrow\quad\underline{\sigma=2}$$
Weiter wissen wir aus der Aufgabenstellung, dass \(F(x+4)=1-F(4-x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, also können wir auch \(x=0\) einsetzen und finden:$$F(0+4)=1-F(4-0)\;\;\Leftrightarrow\;\;F(4)=1-F(4)\;\;\Leftrightarrow\;\;2\cdot F(4)=1\;\;\Leftrightarrow\;\;F(4)=\frac{1}{2}$$Bei \(x=4\) hat die Verteilungsfunktion \(F(x)\) ihren halben Maximalwert von \(1\) erreicht, d.h.: \(\underline{\mu=4}\)
