Was bewirkt die Multiplikation einer 3x3 Matrix von links?

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Text erkannt:

Aufgabe 4 (Elementarumformungen) Was bewirkt die Multiplikation einer \( (3 \times 3) \) Matrix von links mit den Matrizen
a) \( \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
b) \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right) \),
c) \( \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
d) \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & 1\end{array}\right) \),
e) \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Von links erzeugt zeilenumformungen

Einheitsmatrix , Elementarmatrix

https://www.geogebra.org/m/dc27zpw5

Die Spaltennummer des Elements nennt die Zeile, die mit dem Element multipliziert wird und die Zeilennummer die Zeile zu der Elemente*Zeile addiert wird.

a) id =  nix

b)6 zeile2, -3 zeile3

c) tausche Zeile 1x2

d) zeile3+=-7 zeile2

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.

Ich habe mir den Link, den du mir geschickt hast und auch deine Lösung angeschaut, allerdings habe ich deinen Lösungsweg trotzdem nicht verstanden.

Kannst du bitte deinen Lösungsweg detaillierter erklären?

Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Sevi

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https://www.geogebra.org/m/njtyusk8

hier findest Du ein gerechnetes Beispiel mit Elementarmatrizen zur Lösung eines LGS. Einfach den Slider von 1 bis 11 aufziehen und schauen welche Elementarmatrix welche Operation bewirkt.

Du kannst auch Deine Matrizen damit darstellen...

Answer 2

Multipliziere die Matrix \(\left(\begin{smallmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{smallmatrix}\right)\) von links mit den Matrizen

a) \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \)
b) \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}\),
c) \(\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
d) \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & 1\end{pmatrix}\),
e) \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

Comments

Hallo,

Danke für deine Antwort, allerdings verstehe ich immer noch nicht, was die Multiplikation bewirken soll. Da kommt doch bei a,b,c,d und e immer eine (3x3) Matrix als Ergebnis raus, weil man eine (3x3) Matrix mit einer anderen (3x3) Matrix multipliziert.

Heißt das, dass für alle fünf Matrizen eine (3x3) Matrix als Ergebnis raus kommt? Wie muss ich das aufschreiben?

Könntest du das genauer erklären?

Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Sevi

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Da kommt doch bei a,b,c,d und e immer eine (3x3) Matrix als Ergebnis raus

Ja. Und bei e) auch.

Wie muss ich das aufschreiben?

Schreibe auf: "Für alle fünf Matrizen kommt eine (3x3) Matrix als Ergebnis raus."

Außerdem:

Multipliziere die Matrix \(\left(\begin{smallmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{smallmatrix}\right)\) von links mit den Matrizen ...

Hast du das gemacht? Vielleicht fällt dir dann noch mehr auf, als dass das Ergebnis in allen Fällen eine (3x3) Matrix ist.

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Danke für die Antwort.

Du hast zuletzt geschrieben, dass mir noch etwas anderes nach der Multiplikation auffallen sollte. Ich komme leider nicht drauf, kannst du mir sagen was du meinst? Was sollte mir außer der (3x3) Matrix auffallen?

Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Sevi

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Multipliziere die Matrix \(\left(\begin{smallmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{smallmatrix}\right)\) von links mit den Matrizen ...

Hast du das gemacht? Falls ja, was hast du als Ergebnisse? Falls nein, warum nicht?

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Da kommen drei lineare Gleichungssysteme jeweils raus mit mehreren Variablen, ist das richtig?

Vielen Dank im Voraus.

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Nein, da kommen fünf Matrizen raus. Zum Beispiel kommt bei e) die Matrix

        \(\begin{pmatrix}a&b&c\\ d-5a&e-5b&f-5c\\ g+6a&h+6b&i+6c\\ \end{pmatrix}\)

raus.

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Ja genau so weit bin ich auch gekommen, was soll mir da noch auffallen? Dass die erste Zeile nur aus einer Variable immer besteht?

Ich freue mich auf deine Rückmeldung.

Liebe Grüße

Sevi

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Von der zweiten Zeile wurde das fünffache der ersten Zeile abgezogen.

Zur dritten Zeile wurde das sechsfache der ersten Zeile addiert.

Das sind elementare Zeilenumformungen.