Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor

Question

Aufgabe:

„Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor: Alle Zeilen der Matrix werden einzeln mit jedem Wert/ Element des Vektors multipliziert. Dann summiert man die einzelnen Reihen unabhängig voneinander auf.“ Stimmt das so oder habe ich, da was falsch verstanden?

Answer 1

Aloha :)

Alle Zeilen der Matrix werden einzeln mit jedem Wert/ Element des Vektors multipliziert.

$$\phantom=\begin{pmatrix}\green a & {\color{blue}b}\\\green c & {\color{blue}d}\end{pmatrix}\cdot\binom{\pink x}{\pink y}\to\begin{pmatrix}\pink x & \pink y\\\hline\green a & {\color{blue}b}\\\green c & {\color{blue}d}\end{pmatrix}\to\pink x\cdot\binom{\green a}{\green c}+\pink y\cdot\binom{\blue b}{\blue d}$$

Dann summiert man die einzelnen Reihen unabhängig voneinander auf.

$$=\binom{\green a\pink x}{\green c\pink x}+\binom{{\color{blue}b}\pink y}{{\color{blue}d}\pink y}=\binom{\green a\pink x+{\color{blue}b}\pink y}{\green c\pink x+{\color{blue}d}\pink y}$$

Comments

Also stimmt das, was ich geschrieben habe ?

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Jein es stimmt fast, deswegen habe ich das extra nochmal mit einem Beispiel unter"malt" ;)

Du könntest es vielleicht noch etwas präziser formulieren:

"Alle Spalten [nicht Zeilen] der Matrix werden einzeln mit den Komponenten des Vektors multipliziert. Anschließend summiert man die einzelnen Reihen auf."

Answer 2

Die Zeilenvektoren in der Matrix werden einzeln mit dem Spaltenvektor skalar multipliziert. Die Ergebnisse untereinander ergeben den neuen Spaltenvektor als Ergebnis.

Comments

Also stimmt meins nicht :/?

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Du meinst vermutlich das richtige. Aber man muss das detailliert aufschreiben.

Du musst dir überlegen, ob du das Produkt bilden könntest, wenn du deine obige Beschreibung liest.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e\\f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e\\f \end{pmatrix}\\\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e\\f \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot e + b \cdot f\\c \cdot e + d \cdot f \end{pmatrix}$$

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Und wie würde es richtig klingen ?

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Z.B. wie ich es oben formuliert habe oder bei Wikipedia

Das Matrix-Vektor-Produkt ist in der linearen Algebra das Produkt einer Matrix mit einem Vektor. Damit eine solche Matrix-Vektor-Multiplikation durchgeführt werden kann, muss die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmen.

Das Ergebnis ist dann wieder ein Vektor, dessen Elemente durch komponentenweise Multiplikation und Summation der Einträge der entsprechenden Zeile der Matrix mit den Elementen des Ausgangsvektors ermittelt werden.

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also würde das umgeschrieben an Hand meines Textes so richtig klingen, Jede Zeile der Matrix wird einzeln mit jedem Wert/ Element des Vektors multipliziert. Anschließend summiert man die einzelnen Reihen unabhängig voneinander auf. ?

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also würde das umgeschrieben an Hand meines Textes so richtig klingen: Jede Zeile der Matrix wird einzeln mit jedem Wert/ Element des Vektors multipliziert. Anschließend summiert man die einzelnen Reihen unabhängig voneinander auf. ?

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Man multipliziert nicht jede Zeile mit jedem Wert des Vektors.

Das wäre für mein Bespiel oben:

[a, b] * e = [ae, be]
[a, b] * f = [af, bf]

[c, d] * e = [ce, de]
[c, d] * f = [cf, df]

Und was machst du jetzt mit Ergebnisse?

Die Zeilen werden als Zeilenvektor mit dem Spaltenvektor skalar multipliziert

[a, b] * [e, f]^T = [ae, bf]^T
[c, d] * [e, f]^T = [ce, df]^T

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Was heißt genau skalar multipliziert?

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Beim Skalarprodukt zweier Vektoren, bildet man das Produkt der jeweils zugehörigen Komponenten/Koordinaten und addiert alle Produkte zu einer Summe. Diese Summe nennt man das Skalarprodukt.

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Ich wunder mich aber etwas, dass du jetzt keine Begriffe mehr kennst, zu denen du schon früher Fragen hattest und offensichtlich schon gewusst hast, was die bedeuten.

https://www.mathelounge.de/1027917/woher-weiss-wann-skalarprodukt-wann-vektorprodukt-benutzte

Answer 3

https://www.geogebra.org/cas?command={{a11,a12},{a21,a22}}%20{{v1},{v2}}

Jede Matrixzeile wird mit dem Vektor multipliziert ==> Skalarprodukt und bildet eine Vektorkomponente

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Also stimmt meins nicht ?