Wie wurde hier im unteren Teil nach oben abgeschätzt?

Question

Aufgabe:

… Hallo,

wir haben in der Uni das Integral eingeführt und an einem Beispiel folgendes errechnet:

f(x) = x, dann S x dx = 1/2 (b^2 - a^2) = I     Intervallgrenzen sind a und b

In der Tat:              m

rho ( f , {xj} , {tj} ) = ∑  tj * (xj - xj-1) = ∑ (xj - xj-1)/2 + ∑ ( tj - (xj - xj-1)/2 * (xj - xj-1)

                             j= 1

tj ist der Stützpunkt und xj-xj-1 das Intervall

Summe geht immer von j=1 bis m

Also folgt:

1/2 * (b² - a²) + ∑ (tj - (xj - xj-1)/2 * (xj - xj-1)  , da erste Term Teleskopsumme

Problem/Ansatz:

| rho - I | < = ∑ | tj - (xj+xj-1)/2|* DELTAxj < = ∑ DELTAxj /2 * DELTAxj < = 1/2 d ({xj}) ∑ DELTA xj < = 1/2 δ (b-a) < = ε

Das Integral haben wir wie folgt definiert :

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 :

| rho (f , {xj} , {tj} ) - I | < ε      sobald d ({xj}) < δ ( unabhängig von der Wahl der Stützpunkte)

Ab der fett markierten Stelle kann ich nicht nachvollziehen wie der Prof Nach Oben Abgeschätzt hat und hoffe es ist einigermaßen gut lesbar.

LG

Comments

Hallo

Das ist sehr schwer oder fast unmöglich zu lesen, kannst du es editieren um es lesbarer zu machen, z.B mit dem LateX editor schreiben, oder z.B,  statt DELTA  aus Sym  Δ  benutzen . für die Summen klick das Wurzelsymbol an usw.

Als Studi musst du eh LaTEX lernen.

Gruß lul

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f(x) = x, dann \( \int\limits_{a}^{b} \) x dx = 1/2 (b² - a²) = I   Intervallgrenzen sind a und b

In der Tat:             

rho ( f , {x_j} , {t_j} ) = \( \sum\limits_{j=1}^{m}{} \)  t_j * (x_j - x_j-1) = ∑ \( \frac{xj + xj-1}{2} \) * (x_j - x_j-1)  + ∑ ( t_j - \( \frac{xj+ xj-1}{2} \)  * (x_j - x_j-1)

                          


t_j ist der Stützpunkt und x_j-x_j-1 das Intervall

Summe geht immer von j=1 bis m


Also folgt:

\( \frac{1}{2} \)  * (b² - a²) + ∑ (t_j - \( \frac{xj + xj-1}{2} \)  * (x_j - x_j-1)  , da erste Term Teleskopsumme
Problem/Ansatz:

| rho - I | < = \( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{} \) | t_j - \( \frac{xj + xj-1}{2} \) | * Δx_j < = ∑ \( \frac{Δxj}{2} \)  * Δx_j < = \( \frac{1}{2} \)*  d ({x_j})* ∑ Δ x_j < = \( \frac{1}{2} \)*  δ (b-a) < = ε

Das Integral haben wir wie folgt definiert :


Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 :

| rho (f , {x_j} , {t_j} ) - I | < ε      sobald d ({x_j}) < δ ( unabhängig von der Wahl der Stützpunkte)

Answer 1

Ich sehe nichts fett markiert. Allerdings sehe ich auch nur eine Stelle, wo überhaupt abgeschätzt wird. Das wäre die Aussage

$$\forall t \in [a,b]: \quad |t-0.5(a+b)| \leq 0.5(b-a)$$

In Worten: In einem Intervall ist der Abstand eines Punktes zum Invervall-Mittelpunkt kleiner oder gleich der Intervalllänge - das scheint mir klar.

Oder meinst Du etwas anderes?

Comments

Ja genau die Stelle war eigentlich gemeint. Danke .

Nur verstehe ich die Definition allgemein nicht. Für was steht das δ z.B ?