Integrale verifizieren durch Differentiation?

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{}^{} \)  \( 4e^{-x} \)  \( (x-1)^{2} \) dx = -4( \( x^{2} \) +1) \( e^{-x} \) + C     

Verifiziere durch Differentiation folgende Integrationsformeln.

Es sollen noch die Gültigkeitsintervalle angegeben werden. (C ∈ ℝ)

Problem/Ansatz:

Weiß jemand was man machen muss bzw. kann helfen?

Answer 1

Aloha :)

Du musst zeigen, dass die Ableitung der Stammfunktionen \(F(x)\) gleich dem Integranden \(f(x)\) ist. Die Stammfunktionen leiten wir mit Hilfe der Produktregel ab:

$$F(x)=\underbrace{-4(x^2+1)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v}+\text{const}$$$$F'(x)=\underbrace{-4\cdot2x}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v}+\underbrace{(-4(x^2+1))}_{=u}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v'}=-8xe^{-x}+4(x^2+1)e^{-x}$$$$\phantom{F'(x)}=4e^{-x}\cdot\left(-2x+x^2+1\right)=4e^{-x}\cdot(x-1)^2=f(x)\quad\checkmark$$

Der Gültigkeitsbereich ist \(x\in\mathbb R\).

Answer 2

Den Term rechts vom Gleichheitszeichen ableiten und das Ergebnis mit dem Term hinter dem Integralzeichen vergleichen-

Wenn mit Gültigkeitsbereich der Definitionsbereich gemeint sein sollte, dann ist dieser ganz ℝ.