Integral mit der Simpson-Regel bestimmen

Question

Aufgabe:

Best. I mit der simpsonschen regel mit den paaren

I = \( \int\limits_{0}^{2} \) f(x) dx

x	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0
y	1	2	4	8	16

Problem/Ansatz:

b-a/n=2-0/2*4=0,25

eingesetzt in die formel; 2-0/6*4 * (0+2+4(0,25+0,75+1,25+1,75)+2(0,5+1+1,5))

Ist das so richtig?

Answer 1

Aloha :)

Zur Anwendung der Simpson-Regel brauchst du eine ungerade Anzahl an Punkten.

Die Punkte werden mit \(0\) beginnend numeriert:$$\underbrace{(0|1)}_{\#0}\;;\;\underbrace{(\frac12|2)}_{\#1}\;;\;\underbrace{(1|4)}_{\#2}\;;\;\underbrace{(\frac32|8)}_{\#3}\;;\;\underbrace{(2|16)}_{\#4}$$

Der Abstand \(h\) zwischen 2 benachbarten \(x\)-Werten muss konstant sein:$$h=\frac{2-0}{4}=\frac12$$

Nun berechnest du die gewichtete Summe aller \(y\)-Werte, dabei gilt:

1) Der erste und der letzte Punkt zählen \(\pink1\)-fach.

2) Alle anderen ungeraden Punkte zählen \(\pink4\)-fach.

3) Alle anderen geraden Punkte zählen \(\pink2\)-fach.

Hier erhalten wir als gewichtete Summe:$$S=\pink1\cdot1+\pink4\cdot2+\pink2\cdot4+\pink4\cdot8+\pink1\cdot16=65$$

Die Näherungsformel für das Integral ist nun:$$I=\frac h3\cdot S=\frac{\frac12}{3}\cdot65=\frac16\cdot65=10,8\overline3$$