Zeige, ist (an)n∈N eine Cauchy-Folge, so auch (f(an))n∈N

Question

Sei f : (M, d) −→ (M′, d′) eine gleichmäßig stetige Abbildung metrischer Räu-
me. Zeige, ist (an)n∈N eine Cauchy-Folge, so auch (f(an))n∈N

Ist die Aussage auch noch richtig, wenn f nur stetig ist?

Problem/Ansatz:

Hallo :), die erste Aussage habe ich schon gezeigt mit den Definitionen von Cauchy und der gleichmäßigen Stetigkeit, aber bei der zweiten Frage habe ich ein paar Probleme. So intuitiv hätte ich gesagt, dass die Aussage dann nicht mehr gilt. Ich komme aber auf kein gutes Gegenbeispiel? Kann mir jemand helfen? Vielen Dank im Voraus ;)

Answer 1

Betrachte zum Beispiel \(f(x) = \frac 1x\) auf \(M = M' = (0,\infty)\) mit der üblichen Metrik \(d(x,y) = |x-y|\).

\(a_n = \frac 1n\) ist Cauchy-Folge in M. Aber \(f(a_n) = n\) offensichtlich nicht.

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Vielen Dank dir! Macht Sinn :)