wenn aus jeder der drei Parteien mindestens ein Mitglied dabei sein soll?

Question

Aus je 7 Mitgliedern der Parteien A, B und C soll ein 6-köpfiger Ausschuss gebildet werden. Wie viele Ausschusszusammensetzungen gibt es

(a) insgesamt,
(b) wenn mindestens ein A-Mitglied dabei sein soll,
(c) wenn mindestens ein A-Mitglied und ein B-Mitglied dabei sein sollen,
(d) wenn aus jeder der drei Parteien mindestens ein Mitglied dabei sein soll?

Hinweis: Bei c) und d) soll die Siebformel zum Einsatz kommen.

Text erkannt:

Aufgabe 4 : Ausschuß-Zusammensetzung
Aus je 7 Mitgliedern der Parteien A, B und C soll ein 6-köpfiger Ausschuss gebildet werden. Wie viele Ausschusszusammensetzungen gibt es
(a) insgesamt,
(b) wenn mindestens ein A-Mitglied dabei sein soll,
(c) wenn mindestens ein A-Mitglied und ein B-Mitglied dabei sein sollen,
(d) wenn aus jeder der drei Parteien mindestens ein Mitglied dabei sein soll?
Hinweis: Bei c) und d) soll die Siebformel zum Einsatz kommen.

Bin echt am strugglen die c) und die d) mit der Siebformel zu lösen:

Hier noch die Siebformel zur Erinnerung:

\( \begin{aligned}|A \cup B \cup C|=|A| +|B|+|C| -|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C| +|A \cap B \cap C|\end{aligned} \)

Comments

Es bezeichne A die Menge aller Ausschüsse, in denen mindestens ein Mitglied der A-Partei sitzt, A^C die Menge aller Ausschüsse, in denen kein Mitglied der A-Partei sitzt, entsprechend für die anderen Parteien.

Da mit der Siebformel die Anzahl der Elemente einer Vereiniungsmenge bestimmt wird, musst du die Bedingung zunächst so umschreiben, dass eben eine Vereiniungsmenge entsteht.
Bei c) geht das etwa so : Das Gegenteil von  mindestens ein A-Mitglied und ein B-Mitglied ist "kein A-Mitglied oder kein B-Mitglied", die Anzahl dieser Möglichkeiten ist also |A^C ∪ B^C| und lässt sich mit der Siebformel und dem Ergebnis aus Aufgabenteil b) berechnen, die Differenz zum Ergebnis aus a) ist dann die Antwort zu c).
Entsprechend bekommt man mittels der Ergebnisse aus b), c) und a) die Lösung zu d).

Kontrollergebnisse : Bei c) : 48265 , bei d) : 45276 .

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Danke für die Antwort.

kannst du eventuell an die Antwort vom Mathecoach anknüpfen und erklären, warum (7 über 6) genutzt werden muss und warum bei der d) sogar mit 3 multipliziert ist und wie es in der Siebformel anwendbar wäre.

Und vorallem warum die (7 über 6) addiert werden.

DAnke :)

Answer 1

a)  (7über2)*(7über2)*(7über2)

b) mit Gegenereignis: kein A-Mitglied

(7über3)^3- (7über3)*(7über3)

Comments

a)  (7über2)*(7über2)*(7über2)

Wo steht, dass aus jeder Partei genau 2 Leute in den Ausschuss sollen?

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Das verlangt die Fairness, wenn nichts anderes dasteht/ vereinbart ist ,oder?

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Bei a) bin ich anderer Meinung: In der Realität wäre Zoff programmiert

Gleichbehandlung ist überall oberster Grundsatz.

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Ne, da musst du nicht in deinem Kopf Zoff erstellen. Hier gehts nur um die Wahrscheinlichkeit und nicht darum, ob im echten Leben sich einer streiten würde oder ob man fair sein muss.

Man würde ja in Echt ja auch nicht 2 aus jedem Team wählen, nur um fair zu sein, sondern den, der qualifizierter ist.

Die a) und b) vom Mathecoach stimmen schon so.

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Die a) und b) vom Mathecoach stimmen schon so.

Die Aufgabe gibt das mMn nicht eindeutig her und widerspricht der Realität.

Andereseits haben Matheaufgaben oft nicht mit dieser zu tun. :)

Answer 2

a) (21 über 6) = 54264

b) (21 über 6) - (14 über 6) = 51261

c) (21 über 6) - 2·(14 über 6) + (7 über 6) = 48265

d) (21 über 6) - 3·(14 über 6) + 3·(7 über 6) = 45276

Comments

Vielen Dank.

Bei der a) und b) kam ich auch das Ergebnis.

Wie würdest du bei der c) und d) das als Siebformel darstellen, denn genau da tue ich mir wirklich schwer.

Danke im Voraus :)

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Könntest du eventuell darauf eingehen, warum (7 über 6) verwendet wird in dem Fall und warum in d) sogar mit 3 multipliziert wird.

Danke

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(21 über 6) bedeutet du nimmst 6 Leute aus den insgesamt 21 Leuten ohne irgendwelche Einschränkungen.

(14 über 6) bedeutet du nimmst 6 Personen aus 14 Leuten. D.h. hier sind z.B. nur Mitglieder der Parteien B und C gemeint, aber eben nicht die aus A.

Wenn ich das multipliziere, dann, weil ich z.B. auch die aus A und C haben möchte, aber eben nicht die aus B.

Modellieren wir also mal exemplarisch d)

d) wenn aus jeder der drei Parteien mindestens ein Mitglied dabei sein soll?

Zunächst nimmt man mal alle Möglichkeiten. Dann ziehen wir die Möglichkeiten ab, bei denen keine Person von A dabei ist, dann ziehen wir die Möglichkeiten ab, bei denen keine Person von B dabei ist und als Letztes noch die Möglichkeiten, bei denen keine Person von C dabei ist. Daher das multiplizieren mit 3. Nun hat man dort aber Sachen mehrfach abgezogen. Z.B. eben zweimal die Möglichkeiten, die keine Personen von A und B enthalten, sondern nur die von C. Also muss man die eben wieder dazuaddieren.