20 % erhöhte Messwerte, was passiert mit Mittelwert und Varianz?

Question

Aufgabe:

c) Bei einer zweiten Messung in der Statistik haben sich alle Werte um 20% erhöht. Wie haben sich dann Mittelwert und empirische Varianz im Vergleich zur ersten Messung verändert?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemanden helfen die Aufgabe zu lösen? Die C)

Answer 1

Bei einer zweiten Messung in der Statistik, haben sich alle Werte um 20% erhöht.

Das erreicht man indem man jeden Wert mit \(1{,}2\) multipliziert.

Für den Mittelwert \(\overline{x'}\) der neuen Werte \(x'_i\) gilt deshalb

        \(\begin{aligned}\overline{x'}&=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}x'_{i}\\&=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}1\text{,}2x_{i}\\&=1\text{,}2\cdot \frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}x_{i}\\&=1,2\overline{x}\end{aligned}\).

Entsprechend gilt für die Varianz \(s'^2\) der neuen Werte

        \(\begin{aligned} s'^{2} & =\frac{1}{15-1}\sum_{i=1}^{15}\left(x'_{i}-\overline{x'}\right)^{2}\\ & =\frac{1}{15-1}\sum_{i=1}^{15}\left(1\text{,}2x_{i}-1\text{,}2\overline{x}\right)^{2}\\ & =\frac{1}{15-1}\sum_{i=1}^{15}1\text{,}2^{2}\left(x'_{i}-\overline{x'}\right)^{2}\\ & =1\text{,}2^{2}\cdot\frac{1}{15-1}\sum_{i=1}^{15}\left(x'_{i}-\overline{x'}\right)^{2}\\ & =1\text{,}2^{2}\cdot s^{2} \end{aligned}\)

Answer 2

Aloha :)

Der Mittelwert \(\left<\cdots\right>\) ist linear, daher gilt:$$\left<1,2\cdot X\right>=1,2\cdot\left<X\right>$$Wenn sich also alle Werte einer Messgröße \(X\) um \(20\%\) erhöhen, erhöht sich auch der Mittelwert um \(20\%\).

Für die Varianz gilt allgemein \(V(a\cdot X+b)=a^2\cdot V(X)\), das heißt:$$V(1,2\cdot X+0)=1,2^2\cdot V(X)=1,44\cdot V(X)$$Wenn sich also alle Werte einer Messgröße \(X\) um \(20\%\) erhöhen, erhöht sich die Varianz um \(44\%\).