Wie eine Basis für einen Unterraum bestimmen

Question

Aufgabe:

Es ist folgende Teilmenge U von R⁴ gegeben.
U = {v | v = \( \begin{pmatrix} v1\\v2\\v3\\v4 \end{pmatrix} \) und v₁ - v₂ + v₃ = 0 und v₂ + 2v₃ - v₄ = 0}
Nun soll ich eine Basis für U bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich habe v₁ und v₄ vereinfacht
v₁ = v₂-v₃
v₄ = v₂ + 2v₃

Und nun habe ich irgendwie eine Gedächnisblockade und komme nicht mehr weiter...

Ohne mich zu blamieren würde ich sagen, dass die Basis \( \begin{pmatrix} v2-v3\\v2\\v3\\v2+2v3 \end{pmatrix} \) wäre, da ich damit jeden Vektor bilden kann, welcher im Unterraum U enthalten ist.

Answer 1

Du bist ja schon auf dem richtigen Weg.

\( \begin{pmatrix} v2-v3\\v2\\v3\\v2+2v3 \end{pmatrix} = v_2  \begin{pmatrix} 1 \\1\\0\\1 \end{pmatrix}+v_3 \begin{pmatrix} -1\\0\\1\\2 \end{pmatrix}\)

Und die beiden Vektoren rechts sind lin. unabh., bilden also

eine Basis von U.

Comments

Hallo mathef :)
Vielen Dank, du hast mir sehr weitergeholfen!

Answer 2

\(\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\ v_{2}\\ v_{3}\\ v_{2}+2v_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_{2}\\ v_{2}\\ 0\\ v_{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-v_{3}\\ 0\\ v_{3}\\ 2v_{3} \end{pmatrix}=v_{2}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+v_{3}\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\)

Eine Basis ist somit

\(\left\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\right\}\)

Comments

Hallo oswald :)
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!