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 Sei V ein R-Vektorraum und a, b, c ∈ V . Ferner defnieren wir die Vektoren
x:=b+c, y:=c+a, z:=a+b.
(a) Beweisen Sie, dass die Mengen {a, b, c} und {x, y, z} denselben Unterraum U ≤ V erzeugen.
(b) Beweisen Sie: Die Vektoren a, b, c sind genau dann linear unabhängig, wenn die Vektoren x, y, z linear unabhängig sind.
(c) Gelten die Aussagen (a) und (b) auch für Vektorräume über einem beliebigem Körper?


Hab ehrlich keine Ahnung wie ich bei den Aufgaben vorgehen muss. Hab bis jetzt nur gelernt wie man Unterräume prüft indem man v+w und a*v anwendet. Hab den Tipp bekommen (a) mit der Linearen Hülle zu prüfen. In wie fern trifft diese Aufgabe zu ? Kann mir wer alle Aufgaben bitte erklären und Beweiswege erklären ?

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Hab den Tipp bekommen (a) mit der Linearen Hülle zu prüfen.

Der ist doch gut:   Die Mengen erzeugen den gleichen Unterraum, wenn die

linearen Hüllen gleich sind.

Dazu genügt es zu überlegen, dass  {a, b, c} Teilmenge der linearen

Hülle von {x, y, z} ist  (Ich schreibe <x,y,z> für die Hülle)  und umgekehrt

  {x, y, z} von <a, b, c> ist .

Zum ersten:  a ∈ <x, y, z> heißt: Gibt es eine Linearkombination von

{x, y, z} für a ?  Ja, denn es ist  -1/2 * x  + 1/2 * y +  1/2 * z   = a ,

also  a ∈ <x, y, z> .   Entsprechend auch  b,c ∈ <x, y, z> .

Und umgekehrt: x ∈  <a, b, c>   ja, denn

                            x = 0*a + 1*b + 1*c  .

etc.

b) Verwende :   a,b,c lin. unabhängig <=>

Für alle r,s,t ∈ℝ gilt r*a+s*b+t*-c=0-Vektor ==>  r=s=t=0.

Nimm an es seien a,b,c lin. unabh. und

r*(b+c) + s*(c+a) + t*(a+b)  = 0

==> (s+t)*a + (r+t)*b + (r+s)*c = 0

Da a,b,c lin. unabh. sind, sind alle

Klammern gleich 0, also

s+t = 0   und  r+t=0  und  r+s=0

also etwa s=-t in die 3. einsetzen

                    r-t=0

zusammen mit der 2. gibt das r=0

und mit den anderen dann auch s=t=0.

Dann umgekehrt aus x,y,z lin. unabh.

auch a,b,c lin. unabh. folgern.


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