Beweise: Unterraum U ≤ V. Zeige: ist u∈ U und v∈ V\U (d.h. v∉ U) so ist u + v ∉ U

Question

Aufgabe:

U ≤ V. Zeige: ist u∈ U und v∈ V\U (d.h. v∉ U) so ist u + v ∉ U

Es sei \( U \leq V \). Zeigen Sie allgemein: Ist \( u \in U \) und \( v \in V \backslash U(d . h, v \in U) \) so ist,\( u+v \in U \) Hinweis: Der Beweis erfolgt durch einen Widerspruchsbeweis.

Comments

Sollte das Elementzeichen am Schluss nicht durchgestrichen sein?

Ich habe es mal so in die Überschrift geschrieben, wie es eher Sinn macht.

Answer 1

Hi,
zuerst heisst es wahrscheinlich \( \subset \) und nicht \( \le \). Desweiteren sind U und V wahrscheinlich Untervektoräume nehem ich an. Ansonsten ist es das gleiche wie beim anderen Beweis. Sei \(  u\in U \) und \( v \in V\setminus U \) d.h. \( v \notin U  \).

Angenommen \( u+v \in U \) dann muss auch  \( u+v-u=v \in U\) sein, da U ein UVR ist. Das ist ein Widerspruch, da \( v \notin U \) ist.

Das ganze gilt aber nur, solange \( U\ne V \) gilt. Wenn U=V gilt, gibt es ja ein solches Elment v, wie ich gewählt habe gar nicht.