Seien A,B komplexe n X n Matrizen mit AB = BA. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

Question

Aufgabe:

Seien A,B komplexe n X n Matrizen mit AB = BA. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

Problem/Ansatz:

a) Die Eigen- und Haupträume von A sind invariant unter B.
b) Wenn A außerdem n verschiedene Eigenwerte besitzt, dann gibt es eine invertierbare
Matrix S ∈ C^n×n
, sodass S^(−1)AS und S^(−1)BS Diagonalmatrizen sind.

Ich komme da nicht weiter, hat jemand vielleicht einen Ansatz ohne gleich alles zu verraten? Ich muss für die Klausur Gefühl entwickeln sowas selbst zu lösen :(

Answer 1

zu a)  Def. benutzen um zu zeigen:

Ist x aus dem Eigenraum von A zum Eigenwert z,

dann ist auch Bx aus dem Eigenraum von A zum Eigenwert z,

Etwa so: Ist x aus dem Eigenraum von A zum Eigenwert z,

    ==>    Ax = zx

       .........

    und du brauchst :

    A(Bx) = z(Bx)

Comments

Sorry, dass ich so spät nochmal Nachfrage, aber ich bereite mich derzeit nochmal vor.

Kann ich das auch so lösen?

Sei lambda ein EW von A und E( Lambda) der zugehörige Eigenraum.

Zu zeigen für x Element Eigenraum E(lambd) :

Bx ist auch Element vom Eigenraum von A zu lambda.

Es muss also gelten (A-lambda) Bx=0

Ausmultiplizieren

ABx-lambda*Bx

Da gilt AB=BA:

BAx-lambda*Bx

Da x eigenvektor zu lambda kann ich Ax umschreiben sodass

B*lambda*x-lambda*Bx und das ist 0 oder?

Ich weiß, dass es wahrscheinlich irgendwo einen Fehler gibt, da das zu einfach ist... Für Hauptraum hätte ich dann halt genutzt, dass (A-lambda)Bx=0 und deshalb auch (A-lambda) ^(k-1) *(A-lambda)Bx