Zeigen von Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta -Kriterium.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit dem \( \varepsilon-\delta \)-Kriterium, dass die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y):=\left\{\begin{array}{cc} \frac{4 x}{\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
im Nullpunkt stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe fast keine Beispiele für solche Aufgaben gefunden und bin mir nicht sicher, wovon Delta abhängen darf. Ich bin nur soweit gekommen:

d(f(x,y),f(0,0)) \( \leq \frac{4 \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{|x|-|y|}} \)

Wie geht man bei solche Probleme weiter? Bedanke mich für jede Hilfe.

Answer 1

Hier ist schon gegeben, dass \(f\) in \((0,0)\) stetig ist.

Dir muss es also nur noch gelingen, den Funktionsterm geschickt abzuschätzen. Dafür gibt es aber keinen Königsweg, da in solcher Art von Aufgaben die Funktionterme manchmal ziemlich wild aussehen können.

Sei also \(\epsilon > 0\) und \(x \neq 0\):

(für \(x=0, y\neq 0\) ist \(f(x,y)\) sowieso gleich 0)$$|f(x,y)| \stackrel{\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}\geq\sqrt{|x|}}{\leq} 4\frac{|x|}{\sqrt{|x|}}=4\sqrt{|x|}\stackrel{!}{<}\epsilon$$ Nun gilt $$4\sqrt{|x|}<\epsilon \Leftrightarrow |x| < \frac{\epsilon^2}{16}$$Außerdem gilt $$|x| = \sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}$$ Damit wissen wir, wenn$$\sqrt{x^2+y^2} < \boxed{\delta_{\epsilon} = \frac{\epsilon^2}{16}}$$dann folgt, dass$$ |x| <\frac{\epsilon^2}{16}$$$$\Rightarrow \boxed{|f(x,y)| \leq 4\sqrt{|x|} <\epsilon }$$

Comments

Vielen Dank! Ich habe den Konzept verstanden. Bedanke mich nochmal

Answer 2

Die Funktion \(f\) ist stetig bei \(x_0\) wenn für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, so dass ...

Somit darf \(\delta\) von \(f\), \(x_0\) und \(\varepsilon\) abhängen.

Die Funktion \(f\) und die Stelle \(x_0\) sind in der Aufgabenstellung schon definiert. Sei also \(\varepsilon > 0\). Finde ein \(\delta > 0\), so dass

        \(|f(x,y) - f(0,0)| < \varepsilon\)

für alle \((x,y)\) mit \(\left|\left(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}\right)-\left(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}\right)\right| < \delta\) ist.