0 Daumen
333 Aufrufe

Aufgabe:

1. X1, X2 und X3 sind unabhängige gleichverteilte stetige Zufallsgrößen auf dem Intervall [0,1]. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass |X1−X2|<X3 gilt?

2. Y1, Y2 und Y3 sind unabhängige gleichverteilte diskrete Zufallsgrößen mit P(Yi=j)=1/10 für ganzzahlige j mit 1≤j≤10 und 1≤i≤3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass |Y1−Y2|<Y3 gilt?


Problem/Ansatz:

Leider habe ich hier echt keine Ahnung, wie ich heran gehen soll. Bedanke mich für jegliche Hilfe!

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

1.)

Ich benutze x,y,z statt indizierter x.

Da die Zufallsgrößen unabhängig sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

$$P(|X-Y|<Z) = 1- P(|X-Y|\geq Z) =1- \int_{[0,1]^3}I_{\{|X-Y|\geq Z\}}d(x,y,z)$$

Wir nehmen Cavalieri und schneiden diese Teilmenge des Einheitswürfels \([0,1]^3\) auf der Höhe \(0\leq z\leq 1\) parallel zur xy-Ebene und erhalten die Schnittflächen \(A(z)\). Dann ist

$$\int_{[0,1]^3}I_{\{|X-Y|\geq Z\}}d(x,y,z) = \int_{z=0}^1A(z)\, dz$$

Als Schnittfläche erhält man per Fallunterscheidung zwei halbe Quadrate mit der Seitenlänge \(1-z\) (Schieberegler für z etwas bewegen). Also

$$\int_{z=0}^1A(z)\, dz = \int_{z=0}^1 (1-z)^2\, dz = \frac 13$$

$$\Rightarrow \boxed{P(|X-Y|<Z) = 1- \frac 13 = \frac 23} $$

2. .. schreib ich vielleicht später noch genauer auf. Ergebnis: exakt 0.67.

Schonmal als Idee - schau dir mal folgendes an:

\(|X-Y|\)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
1
2
\(\cdots\)





9
2
1
0
1







3
2
1
0
1






4
3

1
0






5
4


1






6
5









7
\(\vdots\)








\(\vdots\)
8










9









1
10
9







1
0

Jedes Paar (x,y) in der Tabelle hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac 1{100}\).

Nun kann man sich die (Gegen-)Wahrscheinlichkeit zusammensetzen:

$$P(|X-Y|\geq Z) = \sum_{k=1}^{10}P(|X-Y|\geq Z\,|\, Z=k)P(Z=k)$$$$ = \frac 1{10}\sum_{k=1}^{10}P(|X-Y|\geq k)$$

Der Rest ist eigentlich nur noch Abzählen.

Avatar von 11 k
0 Daumen

\(\begin{aligned} & & |X_{1}-X_{2}| & < X_{3}\\ & \iff & |X_{1}-X_{2}|-X_{3} & < 0\\ & \iff & (X_{1}-X_{2}-X_{3} & < 0\wedge X_{2}-X_{1} < 0)\\ & & \vee\ (X_{2}-X_{1}-X_{3} & < 0\wedge X_{1}-X_{2}<0)\end{aligned}\)

Die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen berechnet man mittels Faltung.

Avatar von 107 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community