Für welches n∈ℕ gilt: (2^n) -1 ≡ 0 (mod 7)

Question

Aufgabe:

Wie kann ich für ein n∈ℕ₀ zeigen:

\2^{n}-1 ≡ 0 (mod 7)

Problem/Ansatz:

Ich hab eigentlich keine Idee? Eventuell mit dem Kleinen Satz von Fermat, aber wie?

Comments

Hab mir jetzt die Aufgabe mittels Aquivalenzklassen angeschaut:
2n = 23k+r ... \( 2^{3^{r}} \) ≡ 2r (mod 7) ⇒ n = 3k

Answer 1

Nach Fermat ist 2⁶-1 durch 7 teilbar.

Answer 2

Ich hoffe sehr für dich, dass du vor dem Stellen dieser Frage die Potenzen 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5 und 2^6 ausgerechnet hast und für jedes dieser Ergebniss ausgerechnet hast, welchen Rest es bei Teilung durch 7 lässt.

Comments

... und auch den Fall  n=0  nicht vergessen ...

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Ich hoffe sehr für dich, dass du vor dem Stellen dieser Frage die Potenzen ausgerechnet hast

Ja!?

2^0 = 1

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16

2^5 = 32

2^6 = 64

Wenn man dann durch 7 teilt:

(2^0)/7 = 0 (1 Rest)

(2^1)/7 = 0 (2 Rest)

(2^2)/7 = 0 (4 Rest)

(2^3)/7 = 1 (1 Rest)

(2^4)/7 = 2 (2 Rest)

(2^5)/7 = 4 (4 Rest)

(2^6)/7 = 9 (1 Rest)

Somit entspricht n gleich 0,1 oder 2?

Manchmal denkt man halt zu kompliziert - je trivialer desto schwieriger ☺ (davon abgesehen hatte ich noch nicht viel mit mod).

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(2⁰)-1/7 = 0 (1 Rest) natürlich

.

.

.

.

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Eigentlich ist das aber alles unnötig und nicht wirklich Zielführend!

Hab mir jetzt die Aufgabe mittels Aquivalenzklassen angeschaut:

2ⁿ = 2^3k+r ... \( 2^{3^{r}} \) ≡ 2^r (mod 7) ⇒ n = 3k

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Eigentlich ist das aber alles unnötig und nicht wirklich Zielführend!

Soso.

Nicht mal selbst auf die Idee kommen, die ersten Beispiele selbst auszuprobieren.

Erst mal im Forum betteln.

Nach dem Hinweis, die ersten Werte durchaus mal berechnen zu dürfen, die Gesetzmäßigkeit finden.

Am Ende plötzlich so ein hochnäsiges Statement...

Ich bin (für dich) raus.

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Das mein Kommentar hochnäsig rüberkommt, war keineswegs Absicht - entschuldige das Bitte. Und wie ich oben bereits geschrieben habe

Manchmal denkt man halt zu kompliziert - je trivialer desto schwieriger ☺.

Man stellt ja eine Frage, weil man Sie nicht lösen kann oder gedanklich nicht weiterkommt, auch wenn es trivial erscheinen mag. Einfach mal durchrechnen ist selbstverständlich trivial, aber ich sehe immer noch nicht, wie ich dadurch auf die richtige Lösung komme bzw. einen Ansatz sehe.

Ich hätte anstatt von

Eigentlich ist das aber alles unnötig und nicht wirklich Zielführend!

vielleicht lieber schreiben sollen

Eigentlich ist das aber alles doch unnötig und nicht wirklich Zielführend - oder übersehe ich was?

Das hätte aus meiner Sicht in der Tat etwas freundlicher geklungen ☺


2n = \( 2^{3k+r} \) ... \( 2^{3^{r}} \) ≡ \( 2^{r} \) (mod 7) ⇒ n = 3k entspricht unserer Musterlösung - dass habe ich eigentlich mit dem Hintergedanken ergänzt, falls doch mal jemand das gleiche Problem bzw. den gleichen Denkfehler wie ich hat.