Bestimmen Sie den Rang und die Dimension

Question

Sei
\( A:=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & t & t+1 & 2 t & 5 \\ 2 & t^{2} & 6 & 8 & 10 \\ 0 & 4-t & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4,5} \)
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( t \in \mathbb{R} \)
1. \( \operatorname{Rang}(A) \) und
2. die Dimension von \( \operatorname{Kern}(A) \).

Answer 1

Rechne 2. Zeile minus 1.

und 3. Zeile minus 2* 1. und

tausche dann 3. und 4. Zeile. Gibt

\( \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & t-2 & t-2 & 2 t-4 & 0 \\ 0 & 4-t & 1 & 0 & 0 \\ 0 & t^2-4 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)  \)

Also für t=2 oder t=-2 ist die letzte Zeile 0.

Für t=2 auch die 2. Zeile.

Also ist für t=2 der Rang 2

und für t=-2 der Rang 3

ansonsten Rang=4.